Questions tagged «gr.group-theory»

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置换组算法的最新进展？
我对GAP包中实现的有限组算法感兴趣。似乎该领域中所有已知的算法都处理置换组/矩阵组。两个基本的是Schreier-Sims [1970]和Butler [1979]，请参见例如Alice Niemeyer的“置换组算法”作为可能的参考（？）。 因此，我想知道过去50年中该领域是否取得了重大进展。我已经看到用户NisaiVloot提出了有关编织组的一些问题，这些问题可能构成了有关排列组的已知结果的有趣扩展，尽管我不清楚目前这个领域的研究状态是什么，因为数学/算法社区似乎有所发展同步-现在。
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用生成集和一组排除的元素对排列的集合进行编码
多项式时间算法可用于查找置换组的生成集，这很有趣，因为我们可以简洁地表示这些组，而无需放弃多项式时间算法来回答与这些组有关的许多有趣问题。 但是，我们可能有时有兴趣的一组不形成一组排列的，从而使集将被表示为[R = ⟨ 小号⟩ ∖ Ť，其中⟨ 小号⟩是由一组所产生的基团小号发生器和Ť是一组是置换的不在ř，而不是仅仅⟨ 小号⟩。[RRRR=⟨S⟩∖TR=⟨S⟩∖TR=\langle S\rangle \setminus T⟨S⟩⟨S⟩\langle S\rangleSSSTTTRRR⟨S⟩⟨S⟩\langle S\rangle 对以对形式进行的这种编码的计算是否已经完成，可能还有其他自然目标，那就是最小化| S。S | + | T | ？{S,T}{S,T}\{S,T\}|S|+|T||S|+|T||S|+|T|
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随机布尔函数具有琐碎的自同构群的概率是多少？
给定布尔函数 fff，我们有自同构组 Aut(f)={σ∈Sn ∣∀x,f(σ(x))=f(x)}Aut(f)={σ∈Sn ∣∀x,f(σ(x))=f(x)}Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}。 是否有任何已知界限 Prf(Aut(f)≠1)Prf(Aut(f)≠1)Pr_f(Aut(f) \neq 1)？有什么已知的形式的数量Prf(G≤Aut(f))Prf(G≤Aut(f))Pr_f(G \leq Aut(f)) 对于某些团体 GGG？
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图同构的图的自同构数
让 GGG 和 HHH 是两个 rrr-大小的规则连接图 nnn。让AAA 是排列的集合 PPP 这样 PGP−1=HPGP−1=HPGP^{-1}=H。如果G=HG=HG=H 然后 AAA 是的自同构集 GGG。 什么是最著名的上限 AAA？ 特定图类（不包含完整/循环图）是否有结果？ 注意：构造自同构组至少与解决图形同构问题一样困难（就其计算复杂度而言）。实际上，仅对自同构进行计数就相当于多项式时间，这与图形同构有关，请参阅R. Mathon，“关于图形同构计数问题的注释”。
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量子后单向小组行动有候选人吗？
是否有一个已知的集体动作家族， 在该集合中正在执行的动作中具有指定的元素 ，并且知道如何有效地进行 \: 从组中采样（基本上统一），计算逆运算， \: 计算小组行动，并计算小组行动 而且还没有已知的有效量子算法 能够以不可忽略的概率成功 \: 作为输入给出集体行动的指数和结果 \: 作用于指定元素的采样组元素， \: 查找一个组元素，其对指定元素的作用是第二个输入 ？ 据我所知，它们提供了唯一的非交互式统计隐藏承诺的已知结构，其中有关活板门的知识可以实现有效且不可检测的模棱两可，这对于零知识协议和自适应安全性很有用。 通过使域通过以下方式作用于共域，可以将具有前三个属性的任何单向组同态族（从本文的第三行和第四行）转换为此类事物： ⟨ 一个，b ⟩ ↦ ħ （一）⋅ b⟨一个，b⟩↦H（一个）⋅b\: \langle a,b\rangle \mapsto h(a)\cdot b \:， \: 以身份元素作为杰出元素。 作为将上述转换应用于组指数同态的特例，可以获取Pedersen承诺方案的受限版本，尽管对量子算法而言，其单向性等效于离散对数问题的难度。（请参阅Shor算法和该页面上有关离散对数的部分。）
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