Questions tagged «integrality-gap»

我一直很难理解完整性差距（IG）的重要性及其界限。IG是最优整数答案（的质量）与问题缓解的最优实际解（的质量）之比。让我们以顶点覆盖（VC）为例。VC可以说是找到以下线性方程组的最佳整数解： 我们有零点/一个值的变量xvxvx_v S表示每一个顶点v∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)的曲线图的GGG。该方程为：0≤xv≤10≤xv≤10 \leq x_v \leq 1为v∈V(G)v∈V(G)v\in V(G)，和1≤xv+xu1≤xv+xu1 \leq x_v+x_u对于每个边缘uv∈E(G)uv∈E(G)uv \in E(G)。我们正在寻找的值，这将减少∑v∈V(G)xv∑v∈V(G)xv\sum_{v \in V(G)} x_v。 这个问题的松弛使得实数值在000到之间，111因此解的空间更大，最优的实解可以小于我们想要找到的最优整数解。因此，我们需要对从线性规划获得的最佳实数答案进行“舍入”处理，以找到整数解。最佳整数解将介于最佳实解和舍入过程的结果之间。IG是最佳整数解决方案与最佳实数解决方案的比率，并且没有说明舍入过程。四舍五入过程可以（理论上）完全忽略实际解并直接计算最佳整数解。 人们为什么对证明IG的界限感兴趣？

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当我们考虑一个最小化问题的近似算法时，针对该问题的IP公式的完整性差距为某些类算法（例如舍入或原始对偶算法）给出了近似比率的下限。实际上，存在许多问题，它们的最佳逼近率与完整性差距相匹配。 对于某些问题，某些算法的逼近率可能比完整性差距好，但我不知道是否存在这样的例子。如果答案是肯定的，您能举一些例子吗？ 我知道有些问题允许使用多种数学公式。在这种情况下，请考虑具有最小积分间隙的数学公式，只要可以在多项式时间内求解即可（也许某些公式可能使用分隔符号）。 这个问题与[问题：完整性差距的重要性]有关。

18 ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  integrality-gap 

我们知道，如果整数程序的值与其对偶之间的差（“对偶间隙”）为零，则整数程序的线性编程弛豫和弛豫的对偶均接受积分解（零“积分”间隙”）。我想知道，至少在某些情况下，这种情况是否成立。 P:max{1Tx:Ax≤1,x∈{0,1}n}P:max{1Tx:Ax≤1,x∈{0,1}n}P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}AAA0−10−10-1P′P′P'PPPP′P′P' 我将不胜感激任何反例或指针。

14 ds.algorithms  optimization  linear-programming  integrality-gap 

在尝试解决问题时，我最终将其一部分表示为以下整数线性程序。这里是给定作为输入的一部分的所有正整数。变量x i j的指定子集设置为零，其余的可以取正整数值：ℓ ，m ，n1个，n2，… ，nℓ，c1个，c2，… ，c米，wℓ,m,n1,n2,…,nℓ,c1,c2,…,cm,w\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},wX我Ĵxijx_{ij} 最小化 ∑米j = 1CĴ∑ℓ我= 1X我Ĵ∑j=1mcj∑i=1ℓxij\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij} 受： ∑米j = 1X我Ĵ= n一世∀ 我∑j=1mxij=ni∀i\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i ∑ℓi=1xij≥w∀j∑i=1ℓxij≥w∀j\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j 我想知道这个整数程序在多项式时间内是否可求解；如果不是，我原来的问题就解决了，否则就不得不尝试其他方法。所以我的问题是： 我如何确定某个整数线性程序是否可以在多项式时间内求解？哪些整数线性程序容易实现？尤其是上述程序可以在多项式时间内求解吗？您能否指出一些对此的参考？

13 reference-request  linear-programming  polynomial-time  integer-programming  integrality-gap