Questions tagged «polynomials»

实验说明： 在拉格朗日插值中，精确的方程在NNN个点（多项式N−1N−1N - 1）处采样，并在101个点处插值。这里从2变化到64。每个时间，和制备误差图。可以看出，当在等距点对函数进行采样时，误差开始下降（直到小于约15时才会发生），然后误差随着进一步增加而上升。NNNL1L1L_1L2L2L_2L∞L∞L_\inftyNNNNNN 而如果初始采样是在Legendre-Gauss（LG）点（Legendre多项式的根）或Legendre-Gauss-Lobatto（LGL）点（Lobatto多项式的根）进行的，则误差降至机器级别，并且不会当进一步增加时增加。NNN 我的问题是 等距点到底会发生什么？ 为什么多项式阶数增加会导致误差在某个点之后上升？ 这是否还意味着如果我将等距点用于WENO / ENO重建（使用拉格朗日多项式），那么在平滑区域中，我会得到错误？（嗯，这些只是假设的问题（以我的理解），对于WENO方案，重建15或更高阶数的多项式确实是不合理的） 额外细节： 功能近似： X∈[-1，1]f(x)=cos(π2 x)f(x)=cos⁡(π2 x)f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)，x∈[−1,1]x∈[−1,1]x \in [-1, 1] ñxxx分为等距点（以后称为LG）点。每次在101点插值该函数。NNN 结果： a）等距点（插值）： N=65N=65N = 65 b）等距点（误差图，对数刻度）： a）LG点（插值）： N=65N=65N = 65 b）LG点（误差图，对数刻度）：

24 finite-difference  interpolation  error-estimation  polynomials 

我在尝试理解一篇论文时遇到了一些困难。本文使用频谱方法来求解来自耦合ODE系统的特征值。我现在只写一个方程式，因为它足以解决我的问题的症结所在。 等式是 V[r]=e−(ν[r]+λ[r])ϵ[r]+p[r]∗[(ϵ[r]+p[r])(eν[r]+λ[r])rW[r]]′V[r]=e−(ν[r]+λ[r])ϵ[r]+p[r]∗[(ϵ[r]+p[r])(eν[r]+λ[r])rW[r]]′V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]' 我进行导数并得到 （等式1） V=[ϵ′+p′ϵ+p+r(ν′+λ′)+1]W+rW′V=[ϵ′+p′ϵ+p+r(ν′+λ′)+1]W+rW′V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W' 现在根据该论文，我应该能够将系统的平衡量）扩展为以下形式的Chebyshev多项式(ϵ,p,ν,λ(ϵ,p,ν,λ(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda ，其中Ti[y]是多项式。我知道如何让b我使用的代码，我在数学写道。也ÿ=2（[R/[R ）-1，和的域- [R是（0，- [R ）。B[r]=Σ∞i=0biTi[y]−12b0B[r]=Σi=0∞biTi[y]−12b0B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0 Ti[y]Ti[y]T_i[y]bibib_iy=2(r/R)−1y=2(r/R)−1y = …

19 eigenvalues  polynomials  spectral-method 

我来自加速器物理领域，特别涉及圆形存储环用于同步加速器光源。在磁场的引导下，高能电子在环周围循环。电子循环数十亿次，人们希望预测其稳定性。您可以根据相空间（位置，动量空间）描述电子在环中某一点的运动。绕环每转一圈，粒子将返回到新的位置和动量，这在相空间中定义了一个映射，称为“单转映射”。我们可以假设原点有一个固定点，因此可以按幂级数对其进行扩展。因此，人们想知道迭代幂级数映射的稳定性。对此有很多难题，而且这个话题有很长的历史。已经实现了许多库，以实现所谓的截断幂级数代数。（请参见例如Y. Yan撰写的有关zlib的论文。正规物理方法是更多有关物理学的背景和一种分析方法，例如Bazzani等。等 这里）。现在的问题是如何使用这样的库，以及如何解决稳定性问题。束动力学中使用的主要方法是正常形式分析，我认为这种方法没有成功。我不知道如果某种谱方法已经在其他领域被开发（也许沿着类似的线这？）。有人可以想到另一个领域，在该领域中分析以原点为固定点的迭代幂级数映射的长期稳定性，以便我们可以共享知识或获得一些新想法吗？我知道的一个例子是菲什曼和“加速器模式”在原子物理学中的工作。还有其他吗？还有哪些其他系统可以建模为踢旋的转子或Henon映射？

16 algorithms  polynomials 

在最近的具有7个非线性代数方程式的问题求解系统中，布莱恩·鲍彻斯（Brian Borchers）实验性地证明，枫树可以求解Matlab / Mupad无法处理的多项式系统。过去，我从该领域的工作人员那里听说，枫树具有Gröbner基和相关算法的高质量实现（我认为这里正在使用）。 因此，我很想建议“ Matlab在此类问题上进展缓慢，请切换到Maple”，但我希望有数据来支持该声明。 是否存在一组基准测试结果，用于比较不同计算机代数系统中Gröbner基实现和多项式系统解决方案的速度和有效性？（Maple，Mathematica，Matlab的符号工具箱等）。

10 reference-request  polynomials  symbolic-computation  maple 

对于四次方程的解是否有开放的C实现： ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 我正在考虑实施法拉利解决方案。在Wikipedia上，我读到该解决方案仅对某些可能的系数符号组合具有计算稳定性。但是也许我很幸运……通过使用计算机代数系统分析求解并导出到C，我得到了一个务实的解决方案。但是，如果有经过测试的实现，我更喜欢使用它。我搜索一种快速方法，但不希望使用一般的根查找器。 我只需要真正的解决方案。

10 polynomials  nonlinear-equations  roots 

我正在尝试为某些图像计算更高阶（例如m=0，n=46）的Zernike矩。但是，我遇到了一个关于径向多项式的问题（请参阅Wikipedia）。这是在间隔[0 1]上定义的多项式。请参阅下面的MATLAB代码 function R = radial_polynomial(m,n,RHO) R = 0; for k = 0:((n-m)/2) R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ... ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ... .*RHO.^(n-2.*k); end end 但是，这显然会遇到的数值问题RHO > 0.9。 我试着将其重构，polyval以为它可能具有一些更好的幕后算法，但这并没有解决任何问题。将其转换为符号计算确实可以创建所需的图形，但即使对于如图所示的简单图形，其速度也令人难以置信。 有没有一种数值稳定的方法来评估这种高阶多项式？

9 matlab  polynomials  numerical-limitations 

令和。我正在寻找渐近快速且数值稳定的算法来计算。在预期的应用中，f，g均为具有双精度浮点系数的密集多项式。但是，到目前为止，我对算法而不是实现更感兴趣。还赞赏用于计算数字多项式的GCD的算法的参考。f,g∈R[x]f,g∈R[x]f, g \in \mathbb{R}[x]degf>deggdeg⁡f>deg⁡g\deg f > \deg gfmodgfmodgf \bmod gf,gf,gf, g

9 algorithms  reference-request  polynomials