多项式（1 / n，…，1 / n）可以表征为离散Dirichlet（1，..，1）吗？
所以这个问题有点混乱，但是我将提供彩色图表来弥补这一点！首先是背景，然后是问题。 背景 假设您有维多项式分布，并且在类别上的Probailites相等。令是该分布的归一化计数（），即：nnnnnnπ=(π1,…,πn)π=(π1,…,πn)\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)ccc (c1,…,cn)∼Multinomial(1/n,…,1/n)πi=cin(c1,…,cn)∼Multinomial(1/n,…,1/n)πi=cin(c_1, \ldots, c_n) \sim \text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n) \\ \pi_i = {c_i \over n} 现在上的分布已支持n -simplex，但具有离散步骤。例如，对于n = 3，此分布具有以下支持（红点）：ππ\pinnnn=3n=3n = 3 具有类似支持的另一个分布是维分布，即单位单纯形上的均匀分布。例如，这是一个3维 1，1，1）的随机抽奖：狄利克雷（1 ，... ，1 ）狄利克雷（1 ，1 ，1 ）nnnDirichlet(1,…,1)Dirichlet(1,…,1)\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)Dirichlet(1,1,1)Dirichlet(1,1,1)\text{Dirichlet}(1, 1, 1) 现在我有了一个想法，即分布中的分布可以被描述为来自离散化为的离散支持。我想到的离散化（似乎很好用）是将单纯形中的每个点取整并“舍入”到支持的最接近点。对于3维单纯形，您将获得以下分区，其中每个有色区域中的点应“舍入”到最接近的红点：ππ\piMultinomial(1/n,…,1/n)Multinomial(1/n,…,1/n)\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)Dirichlet(1,…,1)Dirichlet(1,…,1)\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)ππ\piππ\pi 由于狄利克雷分布是均匀的，因此每个点的最终密度/概率与“四舍五入”到每个点的面积/体积成比例。对于二维和三维情况，这些概率为： （这些概率来自蒙特卡洛模拟） 这样看来，至少对于2维和3维，以这种特殊方式离散化所得到的概率分布与的概率分布相同。那就是分布的标准化结果。我也尝试过使用4维，并且似乎可以使用。Dirichlet(1,…,1)Dirichlet(1,…,1)\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)ππ\piMultinomial(1/n,…,1/n)Multinomial(1/n,…,1/n)\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n) …