找到独特的MVUE
该问题来自Robert Hogg的《数理统计入门》第六版问题7.4.9，第388页。 令用pdf在其他地方为零，其中。X1,...,XnX1,...,XnX_1,...,X_nf(x;θ)=1/3θ,−θ<x<2θ,f(x;θ)=1/3θ,−θ<x<2θ,f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta0 （a）求MLE的θ^θ^\hat{\theta}θθ\theta （b）足够用于统计？为什么呢θ^θ^\hat{\theta}θθ\theta （c）是的唯一MVUE 吗？为什么呢(n+1)θ^/n(n+1)θ^/n(n+1)\hat{\theta}/nθθ\theta 我想我可以解决（a）和（b），但是我对（c）感到困惑。 为一个）： 令为订单统计信息。Y1<Y2<...YnY1<Y2<...YnY_10 因此，似然函数正在减小。L(θ;x)L(θ;x)L(\theta;x) 从和， 和 (−θ<y1(−θ<y1(-\theta< y_1 yn<2θ)yn<2θ) y_n < 2\theta)⇒⇒\Rightarrow (θ>−y1(θ>−y1(\theta>-y_1 θ>yn/2),⇒θ>max(−y1,yn/2)θ>yn/2),⇒θ>max(−y1,yn/2)\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2) L(θ,x)L(θ,x)L(\theta,x)被降低，因此，当具有samllest值似然函数将达到最大，因为，当，似然函数将达到最大值。θθ\thetaθ>max(−y1,yn/2)θ>max(−y1,yn/2)\theta>max(-y_1,y_n/2)θ=max(−y1,yn/2)θ=max(−y1,yn/2)\theta=max(-y1,y_n/2) ∴∴\therefore theremleθ^=max(−y1,yn/2)θ^=max(−y1,yn/2)\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2) 对于（b）： f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏niI(−θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏inI(−θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta-\theta)\times 1 ∴∴\therefore通过Neyman的因式分解定理，对于是足够的统计量。因此，也是足够的统计信息。y1=min(xi)y1=min(xi)y_1=min(x_i)θθ\theta−y1−y1-y_1 对于（c）： 首先，我们找到的CDFXXX F(x)=∫x−θ13θdt=x+θ3θ,−θ<x<2θF(x)=∫−θx13θdt=x+θ3θ,−θ<x<2θF(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta0 因此，pdf族已完成。Y1Y1Y_1 同样，仍然通过，我们可以证明pdf族是完整的。FTCFTCFTCYnYnY_n 现在的问题是，我们需要证明是无偏的。(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n} 当θ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1 E(−y1)=∫2θ−θ(−y1)n(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=1(3θ)n∫2θ−θy1d(2θ−y1)nE(−y1)=∫−θ2θ(−y1)n(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=1(3θ)n∫−θ2θy1d(2θ−y1)nE(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n 我们可以通过零件积分来求解积分 E(−y1)=1(3θ)n[y1(2θ−y1)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(2θ−y1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n−(3θ)n+1n+1]=θ−3θn+1=(n−2)θn+1E(−y1)=1(3θ)n[y1(2θ−y1)n∣−θ2θ−∫−θ2θ(2θ−y1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n−(3θ)n+1n+1]=θ−3θn+1=(n−2)θn+1E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1} ∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(−y1)=n+1n(n−2)θn+1=n−2nθ∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(−y1)=n+1n(n−2)θn+1=n−2nθ\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta 因此，当时，并非的无偏估计量(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1 当θ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2 E(Yn)=∫2θ−θynn(3θ)n(yn+θ)n−1dyn=1(3θ)n∫2θ−θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)−(3θ)n+1n+1]=2θ−3θn+1=2n−1n+1θE(Yn)=∫−θ2θynn(3θ)n(yn+θ)n−1dyn=1(3θ)n∫−θ2θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)n∣−θ2θ−∫−θ2θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)−(3θ)n+1n+1]=2θ−3θn+1=2n−1n+1θE(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta ∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n−1n+1θ=2n−12nθ∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n−1n+1θ=2n−12nθ\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta 不过，当时，并不是的无偏估计量(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2 …