Questions tagged «number-theory»

甲皮莱素是素数为其中存在一些正米，使得（米！+ 1 ）≡ 0pppmmm和 p ≢ 1(m!+1)≡0(mod p)(m!+1)≡0(mod p)(m! + 1) \equiv 0 \:(\text{mod } p)。p≢1(mod m)p≢1(mod m)p \not\equiv 1\:(\text{mod }m) 换言之，整数是一个素数皮拉伊如果它是一个素数，如果存在另一个正整数米，使得阶乘的米，加上1是整除p，如果p - 1不能被整除米。pppmmmmmm111pppp−1p−1p - 1mmm 给定一个正整数作为输入，请确定它是否为Pillai素数。皮莱素数的顺序是OEIS A063980。 例如，是Pillai素数，因为：232323 它是素数，只有2个因数。 和米= 18满足上述条件： 23 | （14 ！+ 1 ）和 14不划分 22 ; 23 | （18 ！+ 1m=14m=14m = 14m=18m=18m = 1823∣(14!+1)23∣(14!+1)23 …

14 code-golf  math  decision-problem  number-theory  primes 

Seidel三角形是类似于Pascal三角形的数学结构，并因其与伯努利数的关系而闻名。 前几行是： 1 1 1 2 2 1 2 4 5 5 16 16 14 10 5 16 32 46 56 61 61 每行生成如下： 如果行号是偶数（1索引）： 调低上一行的第一项 每个下一个项目是上一个项目及其上一个项目的总和 复制最后一个项目 如果行号是奇数： 调低上一行的最后一项 走向倒退，每一项都是前一个项目的总和，它上面的项目 复制现在的第一项。 基本上，我们以锯齿形构造三角形： 1 v 1 > 1 v 2 < 2 < 1 v 2 > 4 > 5 …

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描述一个可以识别9的倍数的有限状态机很容易：跟踪数字总和（mod 9）并添加下一个接受的数字。这样的FSM只有9个状态，非常简单！通过FSM可识别性和常规语言之间的等效性，存在一个9的倍数的正则表达式。但是，任何此类正则表达式都可能……非常……长。与之类似，可能约为千兆字节。 在https://www.quaxio.com/triple/上有一个有效的示例，可用于3的倍数。在页面底部，作者提供了一种“手动优化”的解决方案，该解决方案比原始转换要短一些。 FSM到正则表达式。 挑战： 您必须制作一个正则表达式来检测9的倍数。由于这种正则表达式预计会很长，因此我要求您提供一个可以打印正则表达式的程序。（如果您真的想提供一个完整的正则表达式，也许将其放在其他位置并在此处链接！） 您必须能够告诉我们您程序输出的准确字符数-因此，只有在程序运行得足够快的情况下，才可以尝试尝试一定长度的所有正则表达式，直到找到有效的正则表达式，这是不可接受的运行它完成并给我们最终的正则表达式长度！ 当然，点是用于具有最短的输出正则表达式，而不是基于程序长度。由于正则表达式是我要的“程序”，并且在这里方便地传输太长了，因此我仍在标记此代码高尔夫球。 规则： 输入将仅包含匹配的字符[0-9]*。 您的正则表达式应匹配 9的倍数，但不能匹配其他任何东西。并非完全由数字0-9组成且为无效输入的案例可以根据需要匹配或失败。 考虑到DFA易于识别的动机，所得的正则表达式实际上必须是更具理论性的术语中的正则表达式，也就是说，仅是封闭正则语言的运算符。确切地说，唯一允许的事情是： 文字，字符范围（[ab]，[a-f]，[^k]），Kleene星（*），锚（^和$），通过括号分组，在交替（|），可选术语（?），一个或更多的术语（+），向前看符号（(?=)），负向前看符号（(?!)）， lookbehinds（ (?<=)），负lookbehinds（ (?<!)），条件（如在https://www.regular-expressions.info/conditional.html - (?(?=test)then|else)），和有界长度的反向引用（见下文）。 那些东西例子不是不允许的： 任意长度的后向引用，前向引用，递归，子例程，循环结构，可执行代码，任何'eval'变体或用于将字符串转换为算术值的内置结构。 可以显示具有有限长度绑定字符串的反向引用是可以接受的，因为它们可以以有限状态存储并且不会改变语言的规则性。例如，正则表达式(..2.[3-5])4\1.\1是可以接受的，因为捕获组上有绑定长度\1。这是常规建筑。之类的构造(2*)0\1是不可接受的，因为捕获的组无法以有限状态存储。 您的正则表达式可以随意接受或拒绝带有多余前导零的整数。但是，"0"必须接受该字符串。

14 code-golf  number-theory  regular-expression 

循环差集是一组具有唯一属性的正整数： 令其n为集合中的最大整数。 让r是（在该组不是必需的）的任何整数大于0但小于或等于n/2。 让k是解决方案的数量来(b - a) % n = r这里a和b是一组的任何成员。每个解决方案都是有序对(a,b)。（还要注意n，与许多语言的实现不同，此版本的模通过加负数使负数为正。） 最后，当且仅当这是一个循环差集时，的值k才取决于您对的选择r。就是说，所有的值都r为上述一致性提供相同数量的解。 可以通过以下示例进行说明： Cyclic difference set: {4,5,6,8,9,11} 0 < r <= 11/2, so r = 1,2,3,4,5 r=1: (4,5) (5,6) (8,9) r=2: (4,6) (6,8) (9,11) r=3: (5,8) (6,9) (8,11) r=4: (4,8) (5,9) (11,4) since (4-11)%11=(-7)%11=4 r=5: (4,9) (6,11) (11,5) 的每个值都r具有相同数量的解，在这种情况下为3，因此这是一个循环差集。 输入值 输入将是一个正整数列表。由于这是一个set属性，因此假设输入未排序。您可以假定n至少为2，尽管k可能为零。 …

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表示自然数的一种方法是乘以质数的指数。例如，6可以由2 ^ 1 * 3 ^ 1表示，而50可以由2 ^ 1 * 5 ^ 2表示（其中^表示指数）。与其他方法相比，此表示形式中的质数可以帮助确定使用这种表示方法是否更短。但是因为我不想手工计算这些，所以我需要一个程序为我做这些。但是，由于在回家之前我必须记住该程序，因此它必须尽可能短。 你的任务： 编写程序或函数以确定该数字表示形式中有多少个不同的质数。 输入： 通过任何常规方法获取的整数n，使得1 <n <10 ^ 12。 输出： 引言中概述了表示输入所需的不同素数的数量。 测试用例： 24 -> 2 (2^3*3^1) 126 -> 3 (2^1*3^2*7^1) 1538493 -> 4 (3^1*11^1*23^1*2027^1) 123456 -> 3 (2^6*3^1*643^1) 这是OEIS A001221。 得分： 这是代码高尔夫球，最低得分（以字节为单位）获胜！

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给定正整数n，计算第n 个 威尔逊数 W（n），其中 和ë = 1，如果Ñ具有原根Ñ，否则ê = -1。换句话说，如果不存在1 < x < n-1和x 2 = 1 mod n的整数x，则n具有原始根。 这是代码高尔夫球，因此请为计算n的函数或程序创建最短的代码输入整数 n > 0的第个威尔逊数。 您可以使用基于1或基于0的索引。您也可以选择输出前n个威尔逊数。 这是OEIS序列A157249。 测试用例 n W(n) 1 2 2 1 3 1 4 1 5 5 6 1 7 103 8 13 9 249 10 19 11 329891 12 …

14 code-golf  math  sequence  number-theory  primes 

定义 如果两个数字的唯一正公约数是，则它们是互质的1。 如果该列表中的每对数字互为互素，则该数字互斥互质。 数字的因式分解n是其乘积为的数字列表n。 任务 给定一个正数n，输出n不包含的最大长度的互互素因式分解1。 例 对于n=60，答案是[3,4,5]，因为3*4*5=60没有其他互互素因式分解的1长度大于或等于3分解的长度。 规则与自由 您可以使用任何合理的输入/输出格式。 输出列表中的条目无需排序。 测试用例 n output 1 [] 2 [2] 3 [3] 4 [4] 5 [5] 6 [2, 3] 7 [7] 8 [8] 9 [9] 10 [2, 5] 11 [11] 12 [3, 4] 13 [13] 14 [2, 7] 15 [3, 5] 16 …

14 code-golf  number-theory  primes  division 

著名的斐波那契数列是F(0) = 0; F(1) = 1; F(N+1) = F(N) + F(N-1)（对于这个挑战，我们从0开始）。 您的挑战：由于ñ，输出所有的总和d个斐波那契数为所有除数Ð的的ñ个Fibonacci数。如果您希望使用更正式的符号， 输入：正整数n 输出：总和 例如，考虑n=4。F(4) = 33的除数是1和3，因此输出应为F(1) + F(3) = 1 + 2 = 3。 对于n=6，F(6) = 8和，8的除数是1，2，4，8，因此输出是F(1) + F(2) + F(4) + F(8) = 1 + 1 + 3 + 21 = 26。 测试用例： 1 => 1 2 => …

14 code-golf  number-theory  fibonacci  division 

定义 欧拉披（Euler Phi）函数（又称totient函数）：该函数接受一个正数，并返回小于给定数的正数，这些正数与给定数互质。表示为φ(n)。 可达数：如果存在一个正整数x，使得φ(x) == n，然后n是可到达的。 任务 编写函数/程序以确定给定的正整数是否可以达到。 输入值 任何合理格式的正数。可以假定数字在该语言的能力范围内。一元输入被接受。 输出量 两个一致的值，一个用于可访问的数字，另一个用于不可访问的数字。两个值可以是任意值，只要它们是一致的即可。 测试用例 以下是可接通的电话号码100： 1，2，4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，30，32，36，40，42，44，46，48，52，54，56，58，58， 60、64、66、70、72、78、80、82、84、88、92、96 （OEIS上为A002202） 规则 有标准漏洞。 获奖标准 这是代码高尔夫球。提交的字节数最少。 参考文献 欧拉·菲函数 OEIS A002202

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编辑：我将meta-golf很快发布此问题的较新版本。保持警惕！ 编辑2：我将不再更新挑战，但将其保持打开状态。该meta-golf版本位于此处：https : //codegolf.stackexchange.com/questions/106509/obfuscated-number-golf 背景： 大多数数字只能用6个不同的符号书写： e （欧拉常数） - （减，非负） ^ （求幂） ( ) ln （自然对数） 例如，您可以i使用以下等式转换虚数： (e-e-e^(e-e))^(e^(e-e-ln(e^(e-e)-(e-e-e^(e-e))))) 目标： k通过任何合理的方式给定任何整数，仅使用这6个符号输出该数字的最短表示。 例子： 0 => "e-e" 1 => "ln(e)" 2 => "ln(ee)" // Since - cannot be used for negation, this is not a valid solution: // ln(e)-(-ln(e)) -1 => "e-e-ln(e)" 笔记： …

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定义 根据OEIS A006345的描述： 要查找a(n)，请考虑a 1或a 2。对于每个a(n)=1,2序列，找到最长的重复后缀，即对于每个序列，找到s具有序列a(1),...,a(n)结尾的最长序列ss。使用导致后缀较短的数字。a(1) = 1。 解决的例子 a(1)=1。 如果是a(2)=1，我们将得到1 1从末尾最长的一倍子串是的序列1。如果a(2)=2不是，那么它将是空的子字符串。因此a(2)=2。 什么时候n=6，我们在1 2 1 1 2 1和之间选择1 2 1 1 2 2。在首选中，1 2 1从末尾开始连续翻倍。在第二选择中，它是2。因此，a(6)=2。 什么时候n=9，我们在1 2 1 1 2 2 1 2 1 和之间选择1 2 1 1 2 2 1 2 2。在第一种选择中，最长的双倍连续子字符串是2 1，而在第二种选择1 2 2中，最后连续地双倍连续。因此a(9)=1。 任务 给定n，退货a(n)。 眼镜 n …

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定义 沃尔斯滕霍姆定理指出： 其中 a和b是正整数，p是素数，大括号是二项式系数。 任务 为了验证这一点，你将有三个输入：a，b，p，其中a和b是正整数且p是素数。 计算： 其中 a和b是正整数，p是质数，括号thing是二项式系数。 眼镜 以来： 其中，圆括号是二项式系数。 您可以假设 2b <= a 测试用例 a b p output 6 2 5 240360 3 1 13 3697053 7 3 13 37403621741662802118325

14 code-golf  number-theory  combinatorics 

您会得到一个非负整数n和一个integer p >= 2。您需要将一些次p幂（p=2即正方形，p=3表示立方体）加在一起才能得到n。这始终适用于任何非负数n，但您不知道需要多少次p幂（任何正整数）。 这是您的任务：找到p可以求和的最小n 次方n。 例子 >>> min_powers(7, 2) 4 # you need at least four squares to add to 7 # Example: (2)^2 + (1)^2 + (1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 + 1 = 7 >>> min_powers(4, 2) 1 # you need at least …

14 code-golf  math  arithmetic  number-theory 

有N个门和K个猴子。最初，所有的门都是关闭的。 第1轮：第1只猴子拜访每扇门并拨动门（如果门关闭，则打开；如果门打开，则关闭）。 第二回合：第一只猴子拜访每扇门并拨动门。然后，第二只猴子每隔第二个门访问一次并切换门。 。。。 。。。 回合k： 第一只猴子拜访每扇门并拨动门。。。。。。。。。。第k只猴子会访问第k个门，然后打开门。 输入： NK（以单个空格分隔） 输出： 打开的门号，每个门号之间用一个空格隔开。 范例： 输入：3 3 输出：1 2 限制条件： 0 <N <101 0 <= K <= N 注意事项： 假设N个门的编号从1到N，K个猴子的编号从1到K 代码最短的一方获胜。另外，显示输出为N = 23，K = 21

14 code-golf  number-theory 

S. Ryley于1825年证明了该定理： 每个有理数可以表示为三个有理立方体的总和。 挑战 鉴于一些有理数r∈Qr∈Qr \in \mathbb Q 发现三个有理数a,b,c∈Qa,b,c∈Qa,b,c \in \mathbb Q，使得r=a3+b3+c3.r=a3+b3+c3.r= a^3+b^3+c^3. 细节 给定足够的时间和内存，您的提交应该能够为每个输入计算一个解决方案，这意味着仅用两个32位int表示一个分数是不够的。 例子 305230717280142=39829338766813−6366005495153−39775055545463=607029013173+239612924543−619227128653=(12)3+(13)3+(14)3=03+03+03=(12)3+(23)3+(56)3=(1810423509232)3+(−1495210609)3+(−25454944)330=39829338766813−6366005495153−3977505554546352=607029013173+239612924543−6192271286533071728=(12)3+(13)3+(14)30=03+03+031=(12)3+(23)3+(56)342=(1810423509232)3+(−1495210609)3+(−25454944)3 \begin{align} 30 &= 3982933876681^3 - 636600549515^3 - 3977505554546^3 \\ 52 &= 60702901317^3 + 23961292454^3 - 61922712865^3 \\ \frac{307}{1728} &= \left(\frac12\right)^3 + \left(\frac13\right)^3 + \left(\frac14\right)^3 \\ 0 &= 0^3 + 0^3 + 0^3 \\ …

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