2
关于两个矩阵的问题：敏感性猜想的证明中的Hadamard诉“神奇的一个”
最近，令人难以置信的光滑的灵敏度猜想的证明依赖于基质的显式*施工An∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}，递归地定义如下： A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix} 并且，对于n≥2n≥2n\geq 2， An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix} 具体地，可以很容易地看到，A2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_n所有n≥1n≥1n\geq 1。 现在，也许我对此读得太多，但这至少在语法上与另一个著名的矩阵族Hadamard矩阵有关，该矩阵也使得H2n∝InHn2∝InH_n^2 \propto I_n且具有“相似”谱： H1=(111−1)H1=(111−1)H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} ，并且对于n≥2n≥2n\geq 2， Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix} 两者之间是否有任何正式的联系（可能有用），只是“它们看起来模糊不清”？ 例如，AnAnA_n视为超立方体的签名邻接矩阵{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^n有一个很好的解释（边缘的符号(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x')\in\{0,1\}^n是的奇偶前缀xxx）。HnHnH_n有类似物吗？（这可能很明显吗？） ∗∗^*我还想知道非显式结构（例如均匀随机的±1±1\pm1矩阵）是否具有所需的光谱特性，但这可能要等待另一个问题。