证明非线性最小二乘估计的渐近正态性
我们的模型是，其中，而是的非线性函数。Y=X(β0)+uY=X(β0)+uY=X(\beta_0)+uu∼IID(0,σ20I)u∼IID(0,σ02I)u\sim IID(0,\sigma_0^2I)X(β)X(β)X(\beta) 当尝试最小化我们得到以下FOC：SSR(β)SSR(β)SSR(\beta) ∇X(β)T(Y−X(β))=0∇X(β)T(Y−X(β))=0\nabla X(\beta)^T(Y-X(\beta))=0，其中是渐变。∇ X（β）∇X(β)\nabla X(\beta) 好吧，FOC等效于。ñ（- 1 / 2 ）（∇ X（β）Ť（X（β0）+ u − X（β））= 0n(−1/2)(∇X(β)T(X(β0)+u−X(β))=0n^{(-1/2)}(\nabla X(\beta)^T(X(\beta_0)+u-X(\beta))=0 如果我们将一阶泰勒展开到每个部件的，我们得到，其中是连接和线段中的一个点。对于我们所做的每个taylor扩展，这一点可能有所不同，这就是为什么将其索引为的原因。XŤ（β）Xt(β)X_t(\beta)X（β）X(β)X(\beta)XŤ（β）= XŤ（β0）+ ∇ X（β¯（吨））Ť（β- β0）Xt(β)=Xt(β0)+∇X(β¯(t))T(β−β0)X_t(\beta)=X_t(\beta_0)+\nabla X(\bar\beta_{(t)})^T(\beta-\beta_0)β¯（吨）β¯(t)\bar\beta_{(t)}ββ\betaβ0β0\beta_0ŤŤt 在FOC中插入taylor扩展： ，其中\ nabla \ bar X是具有\ nabla X（\ bar \ beta _ {{i）}）作为第i列的矩阵。∇ ˉ X ∇ X （ˉ β（我））ñ（- 1 / 2 ）（∇ X（β）Ť（ü - ∇ …