如果和是各自均值为零的独立法线变量，则也是法线变量
我试图证明这一说法： 如果和是独立随机变量，X∼N(0,σ21)X∼N(0,σ12)X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)Y∼N(0,σ22)Y∼N(0,σ22)Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2) 那么也是一个普通随机变量。XYX2+Y2√XYX2+Y2\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}} 对于特殊情况（例如），我们得到的著名结果是每当和是独立的变量时。实际上，更普遍地知道是独立的变量。σ1=σ2=σσ1=σ2=σ\sigma_1=\sigma_2=\sigmaXYX2+Y2√∼N(0,σ24)XYX2+Y2∼N(0,σ24)\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)XXXYYYN(0,σ2)N(0,σ2)\mathcal{N}(0,\sigma^2)XYX2+Y2√,X2−Y22X2+Y2√XYX2+Y2,X2−Y22X2+Y2\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}N(0,σ24)N(0,σ24)\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right) 最后的证明是使用的变换其中而。实际上，这里和。我试图模仿这个证明来解决手头的问题，但看起来似乎很混乱。(X,Y)→(R,Θ)→(U,V)(X,Y)→(R,Θ)→(U,V)(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)x=rcosθ,y=rsinθx=rcosθ,y=rsinθx=r\cos\theta,y=r\sin\thetau=r2sin(2θ),v=r2cos(2θ)u=r2sin(2θ),v=r2cos(2θ)u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)U=XYX2+Y2√U=XYX2+Y2U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}V=X2−Y22X2+Y2√V=X2−Y22X2+Y2V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}} 如果我没有做任何错误，那么对于我最终得到的联合密度为(u,v)∈R2(u,v)∈R2(u,v)\in\mathbb{R}^2(U,V)(U,V)(U,V) fU,V(u,v)=2σ1σ2πexp[−u2+v2−−−−−−√(u2+v2−−−−−−√+vσ21+u2+v2−−−−−−√−vσ22)]fU,V(u,v)=2σ1σ2πexp[−u2+v2(u2+v2+vσ12+u2+v2−vσ22)]f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right] 我有上面的乘数，因为变换不是一对一的。222 因此，密度将由，该值不易评估。UUU∫RfU,V(u,v)dv∫RfU,V(u,v)dv\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v 现在，我很想知道是否有证据证明我只能与工作，而不必考虑某个来表明是正常的。对我来说，找到的CDF 看起来并不那么有希望。对于的情况，我也想这样做。UUUVVVUUUUUUσ1=σ2=σσ1=σ2=σ\sigma_1=\sigma_2=\sigma 也就是说，如果和是独立的变量，那么我想证明而无需更改变量。如果我能以某种方式争论，那么我就完成了。所以这里有两个问题，一般情况，然后是特殊情况。XXXYYYN(0,σ2)N(0,σ2)\mathcal{N}(0,\sigma^2)Z=2XYX2+Y2√∼N(0,σ2)Z=2XYX2+Y2∼N(0,σ2)Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)Z=dXZ=dXZ\stackrel{d}{=}X Math.SE上的相关文章： X2−Y2/X2+Y2−−−−−−−√∼N(0,1)X2−Y2/X2+Y2∼N(0,1)X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)当独立时X,Y∼N(0,1)X,Y∼N(0,1)X,Y\sim N(0,1)。 假设是iid，则表明是iidX,YX,YX,YN(0,1)N(0,1)N(0,1)XYX2+Y2√,X2−Y22X2+Y2√XYX2+Y2,X2−Y22X2+Y2\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}N(0,14)N(0,14)N(0,\frac{1}{4})。 编辑。 事实上，这个问题是由于我在Feller的《概率论及其应用入门》（第二卷）练习中发现的L. Shepp以及可能的提示： 当然，并且手边有的密度。U=XYX2+Y2√=11X2+1Y2√U=XYX2+Y2=11X2+1Y2U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}1X21X2\frac{1}{X^2} 让我们看看我现在能做什么。除此之外，还欢迎对以上积分提供一些帮助。