独立平方均匀随机变量之和的平方根的期望
让X1,…,Xn∼U(0,1)X1,…,Xn∼U(0,1)X_1,\dots,X_n \sim U(0,1)是独立的，identicallly分布式标准统一的随机变量。 Let Yn=∑inX2iI seek: E[Yn−−√]Let Yn=∑inXi2I seek: E[Yn]\text{Let }\quad Y_n=\sum_i^nX_i^2 \quad \quad \text{I seek: } \quad \mathbb{E}\big[\sqrt{Y_n } \big] YnYnY_n的期望很容易： E[X2]E[Yn]=∫10y2y√=13=E[∑inX2i]=∑inE[X2i]=n3E[X2]=∫01y2y=13E[Yn]=E[∑inXi2]=∑inE[Xi2]=n3\begin{align} \mathbb{E}\left[X^2\right] &=\int_0^1\frac{y}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{3}\\ \mathbb{E}\left[Y_n\right] &=\mathbb{E}\left[\sum_i^nX_i^2\right] = \sum_i^n\mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\frac{n}{3} \end{align} 现在是无聊的部分。要申请LOTUS，我需要YnYnY_n的pdf 。当然，两个独立随机变量之和的pdf是其pdf的卷积。但是，这里我们有nnn随机变量，我猜想卷积会导致一个...卷积的表达式（意想不到的双关语）。有没有更聪明的方法？ 我希望看到正确的解决方案，但如果不可能或过于复杂，则可以接受大nnn的渐近近似。根据詹森的不等式，我知道 E[Yn]−−−−−√=n3−−√≥E[Yn−−√]E[Yn]=n3≥E[Yn]\sqrt{\mathbb{E}[Y_n]}=\sqrt{\frac{n}{3}}\geq\mathbb{E}\left[\sqrt{Y_n}\right] 但这对我没有多大帮助，除非我还能找到一个不平凡的下限。请注意，CLT不适用于此处，因为我们拥有独立RV的总和的平方根，而不仅仅是独立RV的总和。也许可能存在其他极限定理（我忽略了），在这里可能会有帮助。