Hyperdoctrines和Monadic二阶逻辑
这个问题本质上是我对Mathoverflow提出的问题。 一元二阶（MSO）逻辑是对一元谓词进行量化的二阶逻辑。也就是说，对集合进行量化。有几种MSO逻辑对于计算机科学中研究的结构至关重要。 问题1.单子二阶逻辑是否具有分类语义？ 问题2。对分类逻辑的处理经常谈论“高阶直觉逻辑”。我是否正确地假设它们是指高阶函数，而不是对二阶谓词的量化？ 问题3。（在Neel回答后于2013年11月8日添加）我对一阶量化的理解（以下面提到的Pitts表示）是因为它是针对投影态射影的回拉的。具体而言，通用量化被解释为的右伴随，而存在量化被解释为的左伴随。这些伴随关系必须满足一些条件，我有时将它们称为贝克-谢瓦尔利（Beck-Chevalley）和弗罗贝纽斯-互惠条件。π∗π∗\pi^*ππ\piπ∗π∗\pi^*π∗π∗\pi^* 现在，如果我们要量化谓词，我假设我处于笛卡尔封闭类别中，除了下面的与以前的结构不同之外，图片几乎相同。XXX ∃一世，X，∀一世，X：PC（我× X）→PC（我）∃一世，X，∀一世，X：PC（一世×X）→PC（一世） \exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I) 那正确吗？ 我相信我的思维障碍是因为我以前处理的是一阶超doctrines，不需要将该类设为笛卡尔封闭式，因此以后不再考虑。 背景和上下文。 我一直在研究安迪·皮茨（Andy Pitts）在他的《计算机科学中的逻辑手册》一书中对分类逻辑的介绍，但是我也熟悉Tripos理论在其博士学位论文中的论述，以及Awodey和Bauer的笔记。我开始研究Crole的《类型分类》以及Lambek和Scott的书，但是距我查阅最后两本书已经有一段时间了。 为了激发动力，我对下面定理中出现的那种MSO逻辑感兴趣。我不想处理在表达上等效于其中之一的逻辑。意思是说，我不想用高阶函数对单子谓词进行编码，然后再处理另一种逻辑，但是我很乐意研究包含这种编码的语义。 （Buechi和Elgot定理）（当结构的宇宙是有限字母上的有限词）时，如果语言可以在MSO中定义为带有表示连续位置的解释性谓词，则它就是正则语言。 （布契定理）（Buechi定理），当结构的整个宇宙是 omega- 有限字母表中的单词时，如果该语言在MSO中可以使用适当的解释谓词进行定义，则该语言就是 -regular。ωω\omegaωω\omega （撒切尔和赖特定理）只要在MSO中可以使用谓词进行解释，就可以由自底向上的有限树自动机识别一组有限树。 WS1S是一个后继者的弱单子二阶理论。公式定义了自然数集，二阶变量只能解释为有限集。WS1S可以通过将自然数元组编码为有限词来通过有限自动机来确定。 （拉宾定理）S2S是两个后继者的二阶理论。S2S可以由Rabin自动机决定。