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最佳控制失败时（？）
为了“提出我的问题”，我必须首先解决一个模型。我将省略一些步骤，但是仍然会不可避免地使这篇文章变得很长-因此这也是对这个社区是否喜欢这种问题的一种测试。 在开始之前，我澄清一下，这看起来似乎完全像一个连续的标准新古典主义增长模型，但事实并非如此：它与一个个体有关，该个体不“代表”他周围经济中的任何人，未建模。这里的框架是“将最优控制应用于单个个体的最大化问题”。这是关于最佳控制解决方案框架和方法本身。 我们解决了一个小商人的跨期效用最大化问题，这个小商人拥有自己公司的资本，而他在一个完全竞争的劳动力市场中购买劳务，并且在一个完全竞争的商品市场中出售产品（新鲜甜甜圈）。我们在连续时间内设定模型，没有不确定性（社会经济条件稳定），并且视野无限（商人设想他将来会连续复制很多）： maxc,ℓ,k∫∞0e−ρtlncdts.t.k˙=f(k,ℓ)−wℓ−δk−climt→∞e−ρtλ(t)k(t)=0maxc,ℓ,k∫0∞e−ρtlncdts.t.k˙=f(k,ℓ)−wℓ−δk−climt→∞e−ρtλ(t)k(t)=0\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0 其中ccc是商人的消费，lnclnc\ln c是消费的瞬时效用，ρ>0ρ>0\rho>0是纯时间偏好的比率，kkk是公司的资本，δδ\delta是资本折旧率，而f(k,ℓ)f(k,ℓ)f(k,\ell)是企业的生产功能。初始资本水平为k0k0k_0。商人自己在企业中的职业被纳入资本。生产函数是新古典的标准（规模收益不变，边际产品为正，第二部分为负，稻田条件）。约束条件是资本的运动定律，以及使用当前值乘数的横向条件。 设置当前值哈密顿 H^=lnc+λ[f(k,ℓ)−wℓ−δk−c]H^=lnc+λ[f(k,ℓ)−wℓ−δk−c]\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c] 我们计算一阶条件 ∂H^∂c=0⇒1c=λ⇒c˙c=−λ˙λ∂H^∂c=0⇒1c=λ⇒c˙c=−λ˙λ\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac …