是独立的变量时分布
作为常规练习，我试图找到的分布，其中 和是独立的随机变量。X2+Y2−−−−−−−√X2+Y2\sqrt{X^2+Y^2}XXXYYYU(0,1)U(0,1) U(0,1) 的联合密度为 (X,Y)(X,Y)(X,Y)fX,Y(x,y)=10<x,y<1fX,Y(x,y)=10<x,y<1f_{X,Y}(x,y)=\mathbf 1_{0\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)cosθcosθ\cos\thetaθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]zsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)zsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)z\sin\theta<1\implies\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)sinθsinθ\sin\thetaθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] 因此，对于1<z<2–√1<z<21< z<\sqrt 2，我们有cos−1(1z)<θ<sin−1(1z)cos−1(1z)<θ<sin−1(1z)\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)<\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)。 变换的雅可比的绝对值为|J|=z|J|=z|J|=z 因此(Z,Θ)(Z,Θ)(Z,\Theta)的联合密度由下式给出 fZ,Θ(z,θ)=z1{z∈(0,1),θ∈(0,π/2)}⋃{z∈(1,2√),θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))}fZ,Θ(z,θ)=z1{z∈(0,1),θ∈(0,π/2)}⋃{z∈(1,2),θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))}f_{Z,\Theta}(z,\theta)=z\mathbf 1_{\{z\in(0,1),\,\theta\in\left(0,\pi/2\right)\}\bigcup\{z\in(1,\sqrt2),\,\theta\in\left(\cos^{-1}\left(1/z\right),\sin^{-1}\left(1/z\right)\right)\}} 积分θθ\theta，我们得到ZZZ的pdf 为 fZ(z)=πz210<z<1+(πz2−2zcos−1(1z))11<z<2√fZ(z)=πz210<z<1+(πz2−2zcos−1(1z))11<z<2f_Z(z)=\frac{\pi z}{2}\mathbf 1_{0\sqrt 2 \end{cases} 看起来像正确的表达。对于情况微分会带来一个表达式，该表达式不易简化为我已经获得的pdf。FZFZF_Z1<z<2–√1<z<21< z<\sqrt 2 最后，我认为我具有CDF的正确图片： 对于：0<z<10<z<10<z<1 对于：1<z<2–√1<z<21<z<\sqrt 2 阴影部分应该指示区域{(x,y):0<x,y<1,x2+y2≤z2}{(x,y):0<x,y<1,x2+y2≤z2}\left\{(x,y):0<x,y< 1\,,\,x^2+y^2\le z^2\right\} 图片立即产生 FZ(z)=Pr(−z2−X2−−−−−−−√≤Y≤z2−X2−−−−−−−√)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪πz24z2−1−−−−−√+∫1z2−1√z2−x2−−−−−−√dx, if 0<z<1, if 1<z<2–√FZ(z)=Pr(−z2−X2≤Y≤z2−X2)={πz24, if 0<z<1z2−1+∫z2−11z2−x2dx, if 1<z<2\begin{align} F_Z(z)&=\Pr\left(-\sqrt{z^2-X^2}\le Y\le\sqrt{z^2-X^2}\right) \\&=\begin{cases}\frac{\pi z^2}{4} &,\text{ if } 0<z<1\\\\ \sqrt{z^2-1}+\int_{\sqrt{z^2-1}}^1 \sqrt{z^2-x^2}\,\mathrm{d}x …