枚举一定大小的所有非同构图
我想枚举所有大小为无向图，但是我只需要每个同构类的一个实例。换句话说，我想枚举个顶点上的所有非同构（无向）图。我怎样才能做到这一点？nnnnnn 更准确地说，我想要一种算法，该算法将生成具有以下特性的无向图的序列：对于个顶点上的每个无向图，都存在一个索引，使得与同构。我希望该算法尽可能高效。换句话说，我关心的指标是生成和迭代此图列表的运行时间。第二个目标是，如果算法不太复杂而无法实现，那就太好了。G1,G2,…,GkG1,G2,…,GkG_1,G_2,\dots,G_kGGGnnniiiGGGGiGiG_i 请注意，每个同构类至少需要有一个图，但是如果该算法产生多个实例，则可以。特别是，如果输出序列包含两个同构图，则可以，只要这可以帮助您更轻松地找到这样的算法或启用更有效的算法，只要它覆盖所有可能的图即可。 我的应用程序如下：我有一个程序要在大小为所有图形上进行测试。我知道如果两个图是同构的，则我的程序将在两个同构上表现相同（对两个图都正确，或者对两个图都不正确），因此足以枚举每个同构类的至少一个代表，然后对其进行测试。对这些输入进行编程。在我的应用程序中，很小。nnnnnn 我考虑过一些候选算法： 我可以列举所有可能的邻接矩阵，即所有对称的 0或1矩阵，对角线都为0。但是，这需要枚举矩阵。这些矩阵中有许多将表示同构图，因此这似乎在浪费大量精力。n×nn×nn\times n2n(n−1)/22n(n−1)/22^{n(n-1)/2} 我可以列举所有可能的邻接矩阵，并针对每个矩阵测试它与我先前输出的任何图是否同构；如果它与之前输出的内容不是同构的，则将其输出。这将大大缩短输出列表，但是仍然需要至少个计算步骤（即使我们假设图形同构检查是超快的），因此通过我的指标。2n(n−1)/22n(n−1)/22^{n(n-1)/2} 可以枚举邻接矩阵的子集。特别是，如果是个顶点，则可以不失一般性地假设顶点的排列方式为。换句话说，每个图都是同构的，其中顶点以非降序排列。因此，仅枚举具有此属性的邻接矩阵就足够了。我不知道这样的邻接到底有多少矩阵也有，但它是许多不到他们可以用比少很多被列举GGGnnnV={v1,…,vn}V={v1,…,vn}V=\{v_1,\dots,v_n\}degv1≤degv2≤⋯≤degvndegv1≤degv2≤⋯≤degvn\deg v_1 \le \deg v_2 \le \cdots \le \deg v_n2n(n−1)/22n(n−1)/22^{n(n-1)/2}2n(n−1)/22n(n−1)/22^{n(n-1)/2}计算步骤。但是，这仍然留下了很多冗余：许多同构类仍然会被覆盖很多次，因此我怀疑这是最优的。 我们可以做得更好吗？如果我理解正确，大约是非同构图的等价类。我们能否找到一种运行时间比上述算法更好的算法？我们可以接近下界？我主要关心小（例如或左右；足够小以至于可以合理地运行这样的算法来完成），而不是大的渐近性。2n(n−1)/2/n!2n(n−1)/2/n!2^{n(n-1)/2}/n!∼2n(n−1)/2/n!∼2n(n−1)/2/n!\sim 2^{n(n-1)/2}/n!nnnn=5n=5n=5n=8n=8n=8nnn 相关：构建不等价的二元矩阵（尽管不幸的是，似乎没有收到有效的答案）。