Questions tagged «boolean-functions»

有关布尔函数及其分析的问题

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正确的PAC学习VC尺寸范围
众所周知，对于具有VC维d的概念类，获得O （dCC\mathcal{C}ddd标记为PAC学习C的示例。我不清楚PAC学习算法（使用这么多样本）是正确的还是不合适的？在Kearns和Vazirani以及Anthony和Biggs的教科书中，PAC学习算法似乎是不正确的（即，输出假设不在C中）O(dε日志1个ε）O(dεlog⁡1ε)O\left(\frac{d}{\varepsilon}\log\frac{1}{\varepsilon}\right)CC\mathcal{C}CC\mathcal{C} 有人可以澄清一下类似的上限是否也适用于正确的PAC学习设置吗？如果是这样，您能否给我参考，其中明确提到了该参考并且还包含独立的证据？ 最近，Hanneke通过消除对因子改善了这一界限。有人可以澄清一下，对于正确的PAC学习设置，是否已知可移动日志（1 / ε ）？还是仍然有待解决的问题？日志（1 / ε ）log⁡(1/ε)\log(1/\varepsilon)日志（1 / ε ）log⁡(1/ε)\log(1/\varepsilon)
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用多项式表示布尔函数
假设我们有从一个布尔函数。清楚的是，一个真正的多元多项式p （X ），使得˚F （X ）= p （X ）上X ∈ { 0 ，1 } Ñ可以是多线性。有哪些有趣的布尔函数类，其最小度为p （x ）F：{ 0 ，1 }ñ→ { 0 ，1 }f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}p （x ）p(x)p(x)F（x ）= p （x ）f(x)=p(x)f(x)=p(x)X ∈ { 0 ，1 }ñx∈{0,1}nx\in\{0,1\}^np （x ）p(x)p(x)是已知的？我们有具体的例子吗？
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评估一批类似输入的布尔电路
假设我有一个布尔电路，它计算一些函数。假设电路由AND，OR和NOT门组成，扇入和扇出最多为2。CCCf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\} 令是给定的输入。给定和，我想在单个位位置上对不同于的输入求，即计算值，其中与相同，除了第位被翻转。x∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nCCCxxxCCCnnnxxxnnnC(x1),C(x2),…,C(xn)C(x1),C(x2),…,C(xn)C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)xixix^ixxxiii 有没有办法比在不同的输入上独立评估次更有效？CCC nnnnnn 假设包含门。然后，对所有输入进行独立评估将花费时间。有没有一种方法可以在时间内计算？CCCmmmCCCnnnO(mn)O(mn)O(mn)C(x1),C(x2),…,C(xn)C(x1),C(x2),…,C(xn)C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)o(mn)o(mn)o(mn) 可选上下文：如果我们在有一个算术电路（其门是乘法，加法和加法运算），则可以计算方向导数以时间表示。基本上，我们可以使用标准方法以计算梯度（反向传播/链式规则RR\mathbb{R}nnn∂f∂xi(x)∂f∂xi(x){\partial f \over \partial x_i}(x)O(m)O(m)O(m)O(m)O(m)O(m)时间。之所以有效，是因为相应的功能是连续且可微的。我想知道布尔电路是否可以做类似的事情。布尔电路不是连续的和可微的，所以您不能做同样的事情，但是也许还有其他一些聪明的技术可以使用？也许是某种傅立叶把戏，还是什么？ （变体问题：如果我们有布尔扇门具有无限扇入和扇出扇形，那么您可以做渐近比评估次更好吗？）CCC nnn
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均匀分布下2-DNF的正确PAC学习
关于具有样本查询且分布均匀的适当 PAC学习2-DNF公式的查询复杂性的最新结果是什么？还是任何不平凡的约束呢？ 因为我对学习理论一点都不熟悉，并且这个问题是由另一个领域提出的，所以答案可能很明显。我检查了Kearns和Vazirani的书，但他们似乎并未明确考虑此设置。 更新。尽管感兴趣的主要参数是查询复杂度，但是运行时间也很重要。如果可能，运行时间最好应与查询复杂度大致相同或最多为多项式。 更新。Balcan和Harvey的“学习亚模函数”论文的附录B（第18页的顶部）提到：“众所周知，2-DNF可以有效地进行PAC学习。” 但是，他们没有提及此结果是用于适当学习还是提供任何参考。
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多对数独立性的愚弄导致收紧指数方面取得了任何进展
Braverman证明了 （升Ò 克米ϵ）O （d2）（升ØG米ϵ）Ø（d2）(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}明智的独立 ϵϵ\epsilon-傻瓜深度 ddd 一个C0一个C0AC^0 电路尺寸 米米m 通过“粘合”在一起的Smolensky逼近和Fourier逼近 一个C0一个C0AC^0可计算的布尔函数。作者和对此进行猜想的人最初猜想那里的指数可以简化为Ø （d）Ø（d）O(d)，我很好奇是否已经取得了进展，因为我想它会涉及产生一个相关距离很近的多项式，并且实际上与大量输入上的函数一致，所以我认为这会是一个非常有趣的近似值，无需将这两者粘合在一起。是否有某些理由期望这种近似值必须具有度O （d2）Ø（d2）O(d^2) 当Braverman在2010年撰写论文时还不知道吗？ 关于我的这篇论文的另一个问题是，尽管猜想是在Bobobana在敏感度之前写的，但它与Boppana的敏感度相似。当然，这不是巧合，因为如果傅里叶多项式起作用，则该界线对应于您可以从Boppana界中得出的傅里叶集中度，但是您知道的直觉比“如果傅里叶多项式起作用” ，这就是您所得到的”吗？
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随机布尔函数具有琐碎的自同构群的概率是多少？
给定布尔函数 fff，我们有自同构组 Aut(f)={σ∈Sn ∣∀x,f(σ(x))=f(x)}Aut(f)={σ∈Sn ∣∀x,f(σ(x))=f(x)}Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}。 是否有任何已知界限 Prf(Aut(f)≠1)Prf(Aut(f)≠1)Pr_f(Aut(f) \neq 1)？有什么已知的形式的数量Prf(G≤Aut(f))Prf(G≤Aut(f))Pr_f(G \leq Aut(f)) 对于某些团体 GGG？
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噪声分布的熵
说我们有一个功能 f:Zn2→Rf:Z2n→Rf:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R} 这样 ∀x∈Zn2f(x)∈{12n,22n,…,2n2n},∀x∈Z2nf(x)∈{12n,22n,…,2n2n},\forall x\in \mathbb{Z}_2^n \quad f(x) \in \left\{\frac{1}{2^n}, \frac{2}{2^n}, \ldots, \frac{2^n}{2^n} \right\}, 和 fff 是一个分布，即 ∑x∈Zn2f(x)=1∑x∈Z2nf(x)=1\sum_{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x) = 1。 的香农熵 fff 定义如下： H(f)=−∑x∈Zn2f(x)log(f(x)).H(f)=−∑x∈Z2nf(x)log⁡(f(x)).H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x) \log \left( f(x) \right) . 让 ϵϵ\epsilon保持不变。说我们得到一个ϵϵ\epsilon-嘈杂的版本 f(x)f(x)f(x)，即我们得到一个函数 f~:Zn2→Rf~:Z2n→R\tilde{f}:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R} 这样 |f~(x)−f(x)|&lt;ϵ|f~(x)−f(x)|&lt;ϵ|\tilde{f}(x)- f(x) | < …
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阈值函数的下限
在布尔函数的决策树复杂度中，众所周知的下界方法是找到一个代表该函数的（近似）多项式。Paturi用表示为的数量来描述对称布尔（部分和全部）函数：ΓΓ\Gamma 定理（大小床）：设是任何非恒定对称函数，并且表示，当（即汉明权重就是）。的近似度（表示为为，其中ffffk=f(x)fk=f(x)f_k=f(x)|x|=k|x|=k|x|=kxxxkkkfffdeg˜(f)deg~(f)\widetilde{deg}(f)Θ(n(n−Γ(f))−−−−−−−−−−√)Θ(n(n−Γ(f)))\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})Γ(f)=min{|2k−n+1|:fk≠fk+1 and 0≤k≤n−1}Γ(f)=min{|2k−n+1|:fk≠fk+1 and 0≤k≤n−1}\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\} 现在让Thrt(x)Thrt(x)Thr_t(x)为阈值函数，即如果x \ geq t为Thr_t（x）= 1。在本文中（参见第15页第8节）说\ widetilde {deg}（f）= \ sqrt {（t + 1）（N-t + 1）}。Thrt(x)=1Thrt(x)=1Thr_t(x)=1x≥tx≥tx\geq tdeg˜(f)=(t+1)(N−t+1)−−−−−−−−−−−−−−√deg~(f)=(t+1)(N−t+1)\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)} 注意，对于阈值函数，我们有Γ(Thrt)=|2(t−1)−n+1|Γ(Thrt)=|2(t−1)−n+1|\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|，因为|x|=t−1|x|=t−1|x|=t-1函数从0变为1。 如果我直接将Paturi定理应用于\ Gamma的值ΓΓ\Gamma，则不会获得其他论文中报告的阈值函数的下界。上面的\ Gamma（Thr_t）的值Γ(Thrt)Γ(Thrt)\Gamma(Thr_t)正确吗？我想念什么？ 编辑：我还尝试计算阈值的量子对手下限。首先，让我们回顾一下定理。 定理（未加权量子对手）：令fff为布尔布尔函数，令A⊆f−1(0)A⊆f−1(0)A\subseteq f^{-1}(0)和B⊆f−1(1)B⊆f−1(1)B\subseteq f^{-1}(1)为（硬）输入的子集。令R⊆A×BR⊆A×BR\subseteq A\times B为关系，并为每个1 \ leq i \ leq n设置R_i = \ {（x，y）\ in R：x_i \ neq …
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