Questions tagged «circuit-families»

在1980年代，Razborov著名地证明了存在显式单调布尔函数（例如CLIQUE函数），它们需要按指数方式计算许多AND和OR门。但是，布尔域{0,1}上的基数{AND，OR}只是一个有趣的门集的一个例子，它没有通用。这导致了我的问题： 是否还有其他一组与单调门不同的有趣的门，其电路尺寸的指数下限是已知的（电路没有深度或其他限制）？如果不是这样，是否还有其他门框可以作为此类下限的合理候选者？这些边界不一定需要突破自然证明的障碍，而Razborov的单调电路结果却没有？ 如果存在这样的门集，那么对于k≥3，肯定会超过k元字母。原因是，在二进制字母上， （1）个单调门（{AND，OR}）， （2）个线性门（{NOT，XOR}），和 （3）个通用门（{AND，OR，NOT}） 基本上用尽了有趣的可能性，如下Post的分类定理所示。（请注意，我假设常量-在二进制情况下为-0和1-始终是免费提供的。）使用线性门时，每个布尔函数f：{0,1} n →{0,1}完全可以通过线性电路计算。有了通用集，我们当然会遇到自然证明和其他可怕的障碍。 另一方面，例如，如果我们考虑以3或4个符号字母表示的门集，则可能会出现更多的可能性-至少就我所知，这些可能性从未被完全描绘出来从复杂性理论的角度来看（如果我错了，请纠正我）。我知道在通用代数中以“克隆”为名对可能的门集进行了广泛的研究。我希望我能更熟悉该文献，以便知道该领域的结果对电路复杂性意味着什么。 在任何情况下，如果我们简单地将门集合的类别扩展到我们愿意考虑的有限字母上，似乎还有其他戏剧性的电路下界需要证明。如果我错了，请告诉我原因！

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瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）刚刚在ACC上发布了下界，该类问题具有恒定深度的电路，具有无限扇入和门AND，OR，NOT和MOD_m，适用于所有可能的m。 MOD_m门有什么特别之处？ 它们允许模拟任何环Z_m上的算术。 在Ryan得出结果之前，将MOD_m门加到混合中得到了第一类，但已知的下界不起作用。 还有其他自然原因来研究MOD_m门吗？

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我想问一下由QiCheng提出的问题“ 确定给定的NC 0电路是否计算排列 ” 的特殊情况，但这个问题没有得到解答。 如果每个输出门在语法上取决于最多k个输入门，则布尔电路称为NC 0 k电路。（我们说，当电路中存在从g '到g的有向路径时，如有向无环图所示，输出门g从句法上取决于输入门g ' 。） 在上述问题中，启成询问了以下问题的复杂性，其中k为常数： 实例：具有n位输入和n位输出的NC 0 k电路。问题：给定电路是否在{0，1} n上计算置换？换句话说，是由电路的双射计算的函数从{0，1} Ñ {0，1} Ñ？ 正如Kaveh对这个问题的评论一样，很容易看出问题出在coNP中。在一个答案中，我表明问题对于k = 5 是coNP完全的，对于k = 2 则在P中。 问题。k = 3 的复杂度是多少？ 2013年5月29日的澄清：“在{0，1} n上进行置换”是指从{0，1} n到其自身的双射映射。换句话说，该问题询问对于某个n位输入字符串，每个n位字符串是否都是给定电路的输出。

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由Emil Post在1941年描述的Post格基本上是布尔函数集的完整包含图，这些布尔函数在合成下是封闭的：例如，单调函数，GF（2）上的线性函数以及所有函数。（Post并未假设常量0和1是免费提供的，这使得他的晶格比其他情况要复杂得多。） 我的问题是，对于经典的可逆闸门，如托菲利和弗雷德金闸门，是否有类似文献发表过。即，{0,1} n上的哪些可逆转换类可以由可逆门的一些集合生成？下面是规则：你被允许无限数量的附属物位，一些预设为0，其他预设为1，只要所有的附属物位恢复到初始设置，一旦您的{0,1}改造ñ是完成。 同样，始终免费提供2位的SWAP（即，其索引的重新标记）。根据这些规则，我的学生Luke Schaeffer和我能够确定以下十组转换： 空集 由NOT门生成的集合 由NOTNOT生成的集合（即，将NOT门应用于任意2个位） 由CNOT生成的集合（即，受控门） 由CNOTNOT生成的集合（即，如果第1位为1，则翻转第2位和第3位） 由CNOTNOT和NOT生成的集合 由Fredkin（即受控SWAP）门生成的集合 由Fredkin和CNOTNOT生成的集合 由Fredkin，CNOTNOT和NOT生成的集合 所有转换的集合 我们想确定所有剩余的科目，然后证明分类是完整的，但是在花很多时间之前，我们想知道是否有人做过。

22 circuit-families 

让是它映射的功能š -门极电路Ç上Ñ位和Ñ比特串X到Ç （X ）。假设电路被编码为分配的非循环序列k ：= g （i ，j ）其中i ，j ，CircuitEvals,nCircuitEvals,n\mathsf{CircuitEval}_{s, n}sssCCCnnnnnnxxxC(x)C(x)C(x)k:=g(i,j)k:=g(i,j)k := g(i, j)是导线标签。i,j,ki,j,ki, j, k 我知道这是一个有趣的问题，但是这个问题的电路复杂度最著名的上限是多少？有一个单带TM计算此功能，因此通过Fischer-Pippenger模拟，大小O （（s + n ）2 log （s + n ））就足够了。二次方来自必须来回搜索。有可能做得更好吗？是否可以做O （s + n ）O((s+n)2)O((s+n)2)O((s + n)^2)O((s+n)2log(s+n))O((s+n)2log⁡(s+n))O((s + n)^2 \log(s + n))O(s+n)O(s+n)O(s + n)吗？

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  circuit-families 

让是大多数功能，即˚F （X ）= 1当且仅当Σ Ñ 我= 1 X 我 > ñ / 2。我想知道是否存在以下事实的简单证明（通过“简单”，我的意思是不依赖于Valiant 84这样的概率方法或排序网络；最好不提供电路的明确，直接的构造）：F：{ 0 ，1 }ñ→ { 0 ，1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}F（x ）= 1f(x)=1f(x) = 1∑ñ我= 1X一世> n / 2∑i=1nxi>n/2\sum_{i = 1}^n x_i > n/2 可以通过深度为 O （log （n ）），poly（n）大小的一系列电路来计算，其中门由非门，2输入或门和2输入与门组成。FffO （对数（n ））O(log⁡(n))O(\log(n))

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  circuit-families  circuit-depth 

简而言之：带图文的图灵机与带图文的统一电路系列之间有什么对应关系？对于给定的Oracle Turing机器，如何定义后者以获得相同的计算模型？ 这可能是一个基本问题，但在哪里看并不明显，我是那种喜欢确保我的基金会使用的是优质砂浆的人。如果有标准参考，请给我指出。（例如，帕帕第米特里乌（Papadimitriou）的书似乎根本没有描述使用甲骨文的电路。 我的工作假设是这样的：可以访问Oracle（例如用于解决NP完全问题）的统一电路系列定义如下： 一个定义了一个无限的“预言门” O n族 ，每个电路大小为n，每个都为一个 常数c 计算函数f n ：{0,1} cn →{0,1}。 f显示功能Ñ由oracle栅极ø计算ñ对任意n <N和：应在以下意义上是“均匀的” X ∈{0,1} Ñ，我们要求˚F Ñ（X）= F Ñ（0 （C N-n） x ）---即，甲骨文门必须对其输入使用一致且可扩展的“编码”。 然后定义一个统一的电路系列，其中，oracle门是对该电路允许的操作之一，从而限制了输入大小n的电路使用门O n。 我想上面的某些选择可以任意确定，而不会失去任何一般性。我感兴趣的是对应关系的参考，或者至少是如何修改上面的描述以获得标准的描述。

13 cc.complexity-theory  turing-machines  oracles  circuit-families 

我正在考虑有关精确量子算法的想法。特别是，我正在考虑可能限制，它由在任意有限门集上由多时统一量子电路族完全可确定的语言组成。EQPEQP\mathsf{EQP} 由F N = 1给出的量子傅立叶变换（QFT） 是量子计算理论的一个著名的一部分。在的情况下 Ñ = 2 Ñ，有公知的分解 ˚F Ñ成Hadamards，SWAP门和对角线栅极 Ç ž 2 Ť = ð 我一克（1 ，1 ，1 ，ë 2 π 我/ 2 ŤFN=1N−−√⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1111⋮11ωω2ω3⋮ωN−11ω2ω4ω6⋮ωN−21ω3ω6ω9⋮ωN−3⋯⋯⋯⋯⋱⋯1ωN−1ωN−2ωN−3⋮ω(N−1)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥for ω=e2πi/N,FN=1N[1111⋯11ωω2ω3⋯ωN−11ω2ω4ω6⋯ωN−21ω3ω6ω9⋯ωN−3⋮⋮⋮⋮⋱⋮1ωN−1ωN−2ωN−3⋯ω(N−1)2]for ω=e2πi/N, F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 …

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