时
XXX和YYY独立地分布的随机变量，其中X∼χ2(n−1)X∼χ(n−1)2X\sim\chi^2_{(n-1)}和Y∼Beta(n2−1,n2−1)Y∼Beta(n2−1,n2−1)Y\sim\text{Beta}\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)。Z=（2Y−1）√的分布是什么Z=(2Y−1)X−−√Z=(2Y−1)XZ=(2Y-1)\sqrt X？ 联合密度(X,Y)(X,Y)(X,Y)由下式给出 fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=e−x2xn−12−12n−12Γ(n−12)⋅yn2−2(1−y)n2−2B(n2−1,n2−1)1{x>0,0<y<1}fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=e−x2xn−12−12n−12Γ(n−12)⋅yn2−2(1−y)n2−2B(n2−1,n2−1)1{x>0,0<y<1}f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n-1}{2}-1}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\cdot\frac{y^{\frac{n}{2}-2}(1-y)^{\frac{n}{2}-2}}{B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{\{x>0\,,\,00\,,\,|z|<w\}} 的边缘PDF 是然后 ˚F Ž（ż ）= ＆Integral; ∞ | z | f Z ，W（z ，w ）ZZZ，它不会带我到任何地方。fZ(z)=∫∞|z|fZ,W(z,w)dwfZ(z)=∫|z|∞fZ,W(z,w)dwf_Z(z)=\displaystyle\int_{|z|}^\infty f_{Z,W}(z,w)\,\mathrm{d}w 同样，在找到的分布函数时，出现了不完整的beta /γ函数：ZZZ FZ(z)=Pr(Z≤z)FZ(z)=Pr(Z≤z)F_Z(z)=\Pr(Z\le z) =Pr((2Y−1)X−−√≤z)=∬(2y−1)x√≤zfX,Y(x,y)dxdy=Pr((2Y−1)X≤z)=∬(2y−1)x≤zfX,Y(x,y)dxdy\quad\qquad=\Pr((2Y-1)\sqrt X\le z)=\displaystyle\iint_{(2y-1)\sqrt{x}\le z}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y 这里变量的适当变化是什么？还有另一种方法可以找到的分布吗？ZZZ 我尝试使用Chi-Squared，Beta，“ F”和“ t”分布之间的不同关系，但似乎无济于事。也许我缺少明显的东西。 如@Francis所述，此转换是Box-Müller转换的概括。