上UMVUE的存在和选择的估计的在人口
让是从绘制的随机样本人口其中。(X1,X2,⋯,Xn)(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n)N(θ,θ2)N(θ,θ2)\mathcal N(\theta,\theta^2)θ∈Rθ∈R\theta\in\mathbb R 我正在寻找的UMVUE 。θθ\theta 联合密度为(X1,X2,⋯,Xn)(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n) fθ(x1,x2,⋯,xn)=∏i=1n1θ2π−−√exp[−12θ2(xi−θ)2]=1(θ2π−−√)nexp[−12θ2∑i=1n(xi−θ)2]=1(θ2π−−√)nexp[1θ∑i=1nxi−12θ2∑i=1nx2i−n2]=g(θ,T(x))h(x)∀(x1,⋯,xn)∈Rn,∀θ∈Rfθ(x1,x2,⋯,xn)=∏i=1n1θ2πexp[−12θ2(xi−θ)2]=1(θ2π)nexp[−12θ2∑i=1n(xi−θ)2]=1(θ2π)nexp[1θ∑i=1nxi−12θ2∑i=1nxi2−n2]=g(θ,T(x))h(x)∀(x1,⋯,xn)∈Rn,∀θ∈R\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\theta\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{n}{2}\right] \\&=g(\theta,T(\mathbf x))h(\mathbf x)\qquad\forall\,(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb R^n\,,\forall\,\theta\in\mathbb R \end{align} ，其中和h（\ mathbf x）= 1。h（x）=1g(θ,T(x))=1(θ2π√)nexp[1θ∑ni=1xi−12θ2∑ni=1x2i−n2]g(θ,T(x))=1(θ2π)nexp[1θ∑i=1nxi−12θ2∑i=1nxi2−n2]g(\theta, T(\mathbf x))=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{n}{2}\right]h(x)=1h(x)=1h(\mathbf x)=1 在这里，ggg取决于θθ\theta和x1,⋯,xnx1,⋯,xnx_1,\cdots,x_n到T(x)=(∑ni=1xi,∑ni=1x2i)T(x)=(∑i=1nxi,∑i=1nxi2)T(\mathbf x)=\left(\sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^nx_i^2\right)并且hhh独立于θθ\theta。因此，通过Fisher-Neyman分解定理，二维统计量T(X)=(∑ni=1Xi,∑ni=1X2i)T(X)=(∑i=1nXi,∑i=1nXi2)T(\mathbf X)=\left(\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{i=1}^nX_i^2\right)足以满足θθ\theta。 但是，TTT不是一个完整的统计信息。这是因为Ëθ⎡⎣2 （∑我= 1ñX一世）2− （n + 1 ）∑我= 1ñX2一世⎤⎦= 2 n （1 + n ）θ2- （Ñ + 1 ）2 Ñ θ2= 0∀θEθ[2(∑i=1nXi)2−(n+1)∑i=1nXi2]=2n(1+n)θ2−(n+1)2nθ2=0∀θE_{\theta}\left[2\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2-(n+1)\sum_{i=1}^nX_i^2\right]=2n(1+n)\theta^2-(n+1)2n\theta^2=0\qquad\forall\,\theta …