Coq中的定理证明
背景 我正在独自学习帮助，Coq。到目前为止，我已经匆匆完成了Yves Bertot的Coq阅读。现在，我的目标是证明与自然数有关的一些基本结果，并以所谓的除法算法结束。但是，在实现该目标的过程中，我遇到了一些挫折。特别是，以下两个结果已经证明（双关语意）比我最初想象的要困难得多。实际上，经过多次徒劳的尝试之后，我不得不手工证明它们（如下所示）。显然，这并不能帮助我更加精通Coq。这就是为什么我转向这个论坛。我希望这个网站上的某人能够并且愿意帮助我将下面的证明转换为Coq接受的证明。衷心感谢所有帮助！ 定理A 对于所有证明：x,y∈Nx,y∈Nx,y \in N x<S(y)⊂x<y∨I(N,x,y)x<S(y)⊂x<y∨I(N,x,y)\begin{equation} x < S(y) \subset x < y \lor \text{I}(N,x,y) \end{equation} 假设。因此，存在一个与 因此，通过（皮亚诺1b和3）x<S(y)x<S(y)x < S(y)z∈Nz∈Nz \in NI(N,x+S(z),S(y))(*)(*)I(N,x+S(z),S(y))\begin{equation} \text{I}(N,x+S(z),S(y)) \tag{*}\end{equation}I(N,x+z,y)I(N,x+z,y)\begin{equation} \text{I}(N,x+z,y) \end{equation} 定义一个谓词Q(u):=(I(N,x+u,y)⊂x<y∨I(N,x,y)Q(u):=(I(N,x+u,y)⊂x<y∨I(N,x,y)\begin{equation} Q(u):=(\text{I}(N,x+u,y) \subset xy¬I(N,x,y)¬I(N,x,y)\neg \text{I}(N,x,y)x>yx>yx>y y>xy>xy>xI(N,x,y)I(N,x,y)\text{I}(N,x,y) 我们使固定并在归纳。当对于所有，我们都有，这证明了基本情况。接下来，假设定理对成立；现在我们要证明的定理。从对的三分法中可以看出三种情况：和。如果，则显然。如果，则（对于所有都是）。最后，假设X 我（Ñ ，0 ，ÿ ）0 < Ý ∨ 我（Ñ ，0 ，ÿ ）ÿ X 小号（X ）X X …