Questions tagged «na.numerical-analysis»

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寻找矩阵特征分解的复杂性
我的问题很简单： 计算矩阵的本征分解的最著名算法的最坏情况下的运行时间是多少？n×nn×nn \times n 本征分解是减少到矩阵乘法还是在最坏的情况下是最著名的算法（通过SVD）？O(n3)O(n3)O(n^3) 请注意，我要求的是最坏情况的分析（仅就），而不是要求与问题相关的常数（如条件编号）的范围。nnn 编辑：给出以下一些答案，让我调整一下问题：我会对近似感到满意。近似值可以是乘法，加法，逐项输入或任何您想要的合理定义。我感兴趣的是，是否存在一种比对依赖性更好的算法？ϵϵ\epsilonnnnO(poly(1/ϵ)n3)O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) 编辑2：请参见对称矩阵上的相关问题。
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圆周率的计算复杂度
让 L={n:the nth binary digit of π is 1}L={n:the nth binary digit of π is 1}L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \} （其中被认为是用二进制编码的）。那么我们可以说的计算复杂度呢？很显然，。而且，如果我没记错的话，可以使用准线性时间和内存来计算的位的惊人“ BBP型”算法，而无需计算前几位产生。nnn大号∈ Ë X P Ñ 吨ħ π （日志Ñ ）Ô （1 ）大号∈ P 小号P 甲Ç ÈLLLL∈EXPL∈EXPL\in\mathsf{EXP}nthnthn^{th}ππ\pi(logn)O(1)(log⁡n)O(1)(\log n)^{O(1)}L∈PSPACEL∈PSPACEL\in\mathsf{PSPACE} 我们能否做得更好，并将（例如）放在计数层次结构中？另一方面，是否有任何硬度结果（甚至是一个非常弱的结果，例如硬度）？L T C 0LLLLLLTC0TC0\mathsf{TC}^0 …
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通用逼近定理—神经网络
我早些时候在MSE上发布了此内容，但有人建议在这里问个更好的地方。 通用逼近定理指出：“具有单个隐藏层的标准多层前馈网络，其中包含有限数量的隐藏神经元，是对Rn紧凑子集上连续函数中激活函数的轻微假设下的通用逼近器。” 我理解这意味着什么，但是相关论文超出了我的数学理解水平，无法理解为什么它是真实的或隐藏层如何近似非线性函数。 那么，用比基本演算和线性代数更高级的术语来说，具有一个隐藏层的前馈网络如何近似非线性函数？答案不一定完全是具体的。
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如何计算平方矩阵的幂？
假设我们给定矩阵，令。我们能以多快的速度计算该矩阵的功率？A∈RN×NA∈RN×NA \in \mathbb R^{N\times N}m∈N0m∈N0m \in \mathbb N_0AmAmA^m 与计算乘积相比，下一个最好的事情是利用快速指数，这需要矩阵乘积。mmmO(logm)O(log⁡m)\mathcal O(\log m ) 对于可对角化的矩阵，可以使用特征值分解。它的自然概括，约旦分解，在插管下不稳定，因此不算在内（afaik）。 一般情况下可以加快矩阵求幂吗？ 快速指数说明此问题的变体也很有用： 通用矩阵A的平方AAA可以比已知的矩阵乘法算法更快地计算吗？
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进行量估算的动机
在最近的有关随机游走方法的论文中，有哪些具体而引人注目的应用来估计这类凸多面体的体积？ 这些有关体积估计的论文将数值积分作为一种动机。人们在实践中要计算的积分的哪些例子很难用以前的方法来计算？还是还有其他一些引人注目的实际应用程序可以用来计算1000维多面体的体积？
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单纯形法的数值稳定性
单纯形算法通常在实数运算中或在离散世界中使用精确计算进行处理。但是，它似乎最常通过浮点算法实现。 这就提出了一个问题，即单纯形算法是否应视为数值算法，尤其是舍入误差如何影响计算。我对实际实现不感兴趣，但对理论基础不感兴趣。 您是否知道有关此问题的任何研究？
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多项式的整数根
我们可以使用什么算法找到具有整数系数的多项式所有整数根？f(x)f(x)f(x) 我观察到，即使所有系数都很大，Sage仍可以在几秒钟内找到根。如何做到这一点？f(x)f(x)f(x)
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平方根和的上限的证明
在[1]中，Garey等人。在确定欧几里得TSP的NP完整性的过程中，找出后来被称为平方根和的问题。 给定整数 一个1个，一个2，… ，一个ña1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n 和 大号LL，确定是否 一个1个--√+一个2--√+ ⋯ +一个ñ--√&lt; La1+a2+⋯+an&lt;L\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L 他们观察到，这个问题甚至都不在NP中，因为不清楚在平方根的计算中需要多少精度的最小位数才能将和与 大号LL。但是，他们确实引用了一个最著名的上限Ô （米2ñ）O(m2n)O(m2^n) 哪里 米mm是“原始符号表达式中的位数”。不幸的是，此上限仅归因于AM Odlyzko的个人通信。 是否有人对此上限有适当的引用？或者，在没有公开参考文献的情况下，证明或证明草图也将有所帮助。 注意：我相信这个界限可能是Bernikel等人得出的更一般性结果的推断。等 [2]大约在2000年左右开始使用更大的算术表达式。我最感兴趣的是同时期的参考文献（即1976年左右的文献）和/或专门针对平方根之和的证明。 Garey，Michael R.，Ronald L. Graham和David S. Johnson。“ 一些NP完全几何问题。” ACM第八届年度计算机理论研讨会论文集。ACM，1976年。 Burnikel，Christoph等人。“ 涉及自由基的算术表达式的边界很容易计算。” Algorithmica 27.1（2000）：87-99。
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