Questions tagged «semidefinite-programming»

我想了解Arora-Kale SDP求解器如何在近似线性时间内近似Goemans-Williamson松弛，Plotkin-Shmoys-Tardos求解器如何在近似线性时间内近似分数“包装”和“覆盖”问题，以及算法如何是“向专家学习”抽象框架的实例。 Kale的论文表现出色，但我发现直接进入抽象框架非常困难，我希望从一个简单问题的示例开始，对于该问题，绝对显而易见，然后再转到更一般的问题，逐步向算法及其分析中添加“功能”。 例如： Plotkin-Shmoys如何解决未加权顶点覆盖的线性编程松弛问题？加权顶点覆盖率？设置封面？双向匹配？ Arora-Kale算法执行有趣操作的最简单示例是什么？如何计算图的拉普拉斯算子的最大特征值？ （计算拉普拉斯算子的最大特征值等同于解决Max Cut的Goemans-Williamson SDP松弛的较弱版本的问题，在该问题中，您不希望每个向量的长度为一，而是希望平方和的标准是| V |。）

34 ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  semidefinite-programming 

我对连续优化文献和TCS文献感到困惑，因为它们无法有效解决哪些类型的（连续）数学程序（MP）。连续优化社区似乎声称可以有效解决所有凸程序，但我认为它们的“有效”定义与TCS定义不一致。 在过去的几年中，这个问题一直困扰着我，我似乎找不到一个明确的答案。我希望您能帮助我一劳永逸地解决这一问题：哪些类的MP可以在多项式时间内准确地求解，以及采用哪种方式；关于逼近我们在多项式时间内无法精确求解的MP的最优解的已知信息？ 在下面，我对这个问题给出了不完整的答案，在某些地方也可能是不正确的，因此希望您能在我错的地方验证并纠正我。它还说明了一些我无法回答的问题。 我们都知道，通过运行椭球法或内点法，然后运行一些舍入过程，可以在多项式时间内精确地求解线性规划。线性规划甚至可以在面对具有任何超大量线性约束的LP系列时，通过变量数量的时间多项式求解，只要可以为其提供“分离预言”即可：给出一个点的算法，要么确定该点是否可行，要么输出一个将该点与可行点的多面体分开的超平面。类似地，如果面对具有任何超大量变量的LP系列，则对约束数量的时间多项式进行线性编程（如果为这些LP的对偶提供分离算法）。 如果目标函数中的矩阵是正（半）定的，则椭球法还能够在多项式时间内求解二次程序。我怀疑通过使用分离oracle技巧，如果我们要处理数量惊人的约束，在某些情况下我们也可以这样做。真的吗？ 最近，半定型编程（SDP）在TCS社区中广受欢迎。可以使用内点法或椭球法将它们求解到任意精度。我认为，由于不能精确计算平方根的问题，所以不能完全解决SDP。（？）如果我说SDP有FPTAS，那会是正确的吗？我在任何地方都没有看到该说明，因此可能不正确。但为什么？ 我们可以精确地解决LP和SDP的问题，达到任意精度。其他圆锥程序类别呢？我们可以使用椭球法求解任意精度的二阶锥程序吗？我不知道。 我们可以在哪些MP类上使用椭球法？这样的MP需要满足什么性质才能给出任意精度的答案？为了获得多项式时间的精确解，我们还需要什么其他性质？内点法也有同样的问题。 哦，最后，是什么导致连续优化器说凸程序可以有效地求解？是否可以在多项式时间内找到对凸程序的任意精度答案？我相信不会，那么它们对“效率”的定义在哪些方面与我们的定义不同？ 任何贡献表示赞赏！提前致谢。

31 ds.algorithms  optimization  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

我想找到一种确定多项式矩阵的跨度是否包含置换矩阵的多项式时间算法。 如果有人知道这个问题是否属于不同的复杂性类别，那将同样有帮助。 编辑：我已经用线性编程标记了这个问题，因为我强烈怀疑如果存在这样的解决方案，那将是一种线性编程算法。我相信这是因为Birkhoff多面体的极端点恰好是置换矩阵。如果然后您可以找到仅在Birkhoff多边形的顶点上最大化或最小化的目标函数，则可以将函数约束到多边形与向量子空间的交点，然后在多项式时间内将其最大化。如果此值是置换矩阵，则您将知道该集合包含置换。这些就是我对这个问题的想法。 编辑2：经过更多的思考，在我看来，置换矩阵恰好是具有欧几里得范数的Birkhoff多面体的元素√nn−−√\sqrt{n}，我们认为Birkhoff多边形是n×nn×nn \times n置换矩阵的凸包。也许那也很重要。 编辑3：我添加了半定程序设计标签，因为在我之前的评论之后，我开始认为半定程序设计解决方案是可能的，因为它现在是一个线性约束的二次优化算法。

30 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

在设计近似算法时，有时会求解一个半定程序，然后进行舍入步骤。一个经常使用的示例来说明这一点。（例如，参见Vijay Vazirani的近似算法。） 是否有超越Max-Cut问题的良好教育资源或调查资料来解释更复杂的舍入算法和用于其分析的技术？我正在考虑以下情况：SDP解决方案的向量在超球体上分布不均匀，长度不同或具有其他属性，使得分析变得更加困难。

22 ds.algorithms  reference-request  approximation-algorithms  semidefinite-programming  csp 

这是A. Pal提出的一个最近问题的跟进：在多项式时间内求解半定程序。 我仍然对计算半定程序（SDP）解决方案的算法的实际运行时间感到困惑。正如罗宾（Robin）在对上述问题的评论中指出的那样，SDP通常无法在多项式时间内求解。 事实证明，如果我们仔细定义SDP并为原始可行区域的界线施加条件，则可以使用椭球方法为求解SDP所需的时间给出多项式界（请参阅第3.2节） L.Lovász中的“ 半定程序和组合优化”）。给定的界限是一个通用的“ 多项式时间 ”，在这里我对一个不太粗略的界限感兴趣。 动机来自对用于量子可分离性问题的两种算法的比较（实际问题在这里不相关，因此请不要停止阅读经典读者！）。该算法基于可转换为SDP的测试层次结构，并且层次结构中的每个测试都位于较大的空间中，也就是说，相应SDP的大小较大。我要比较的两种算法在以下折衷方面有所不同：在第一个算法中，要找到解决方案，您需要爬升层次结构的更多步骤，而在第二个算法中，层次结构的步长较高，但是您需要减少的步骤其中。显然，在此折衷的分析中，用于解决SDP的算法的精确运行时间很重要。这些算法的分析由Navascués等人完成。在arxiv：0906.2731，他们在哪里写： ...具有mmm变量且矩阵大小为的SDP的时间复杂度为（算法迭代产生的额外费用很小）。nnnO(m2n2)O(m2n2）O(m^2 n^2) 在另一篇论文中，首次提出这种问题的方法时，作者给出了相同的界限，但是他们使用了更为谨慎的术语“ 算术运算数 ”而不是“ 时间复杂度 ”。 我的问题有两个： Navascuéset al。的哪个算法/绑定。指什么？ 我可以用不那么粗糙的东西（保持相同的假设）替换洛瓦兹中的“多项式时间”吗？

17 quantum-information  semidefinite-programming  analysis-of-algorithms 

我们知道，可以使用椭圆形方法或像Karmarkar算法那样的内点方法，在多项式时间内精确地求解线性程序（LP）。某些具有超多项式（指数）变量/约束的LP也可以在多项式时间内求解，前提是我们可以为其设计一个多项式时间分离法。 半定程序（SDP）呢？几类SDP可以在多项式时间内准确求解？当无法完全解决SDP时，我们是否总可以设计一个FPTAS / PTAS来解决它？在什么条件下可以做到这一点？如果我们可以为其设计多项式时间分隔预言，是否可以求解具有多项式时间变量/约束的指数形式的SDP？ 我们能否有效解决组合优化问题（MAX-CUT，图形着色）中出现的SDP？如果我们只能在因子内求解，那么它对常数因子近似算法（例如Goemans-Williamson MAX-CUT算法的0.878）不会产生影响吗？1+ϵ1+ϵ1+\epsilon 任何对此的良好参考将不胜感激。

17 linear-programming  semidefinite-programming  convex-optimization 

在文献中我找不到SDP对偶性鸿沟消失的精确表征。或者，“强对偶性”何时成立？ 例如，当人们在Lasserre和SOS SDP之间来回移动时，原则上会有双重性差距。但是，似乎不存在这种差距的原因似乎有些“琐碎”。 Slater的条件似乎足够但不是必需的，它适用于所有凸程序。我希望对于SDP来说尤其如此。同样，我很高兴看到任何使用Slater条件证明二元差距消失的明确例子。

10 approximation-hardness  convex-optimization  semidefinite-programming  sum-of-squares  primal-dual 

我对线性程序很熟悉，因为它们可以解决线性目标函数和线性约束的问题。但是，半定规划可以解决线性规划不能解决的问题？我已经知道半定程序是线性程序的一般化。 另外，如何识别可以使用半定编程解决的问题？半线性编程无法通过线性编程解决的一个典型问题是什么？ 非常感谢您的任何答复。

9 linear-programming  convex-optimization  semidefinite-programming 

我想知道是否存在对类似于二次形式的二次形式平方和的系统研究，这实际上反映在特征值分解中（具有巨大的实际意义）。几个例子与问题的重要性有关。 主成分分析（PCA）。给定一点xi∈Rn,i=1..kxi∈Rn,i=1..kx_i \in \mathbb{R^n}, i=1..k 找到轴集 u1u1u_1，... umumu_m，写成矩阵 U∈RnxRmU∈RnxRmU \in \mathbb{R^n x R^m}和预测 ξ1ξ1\xi_1，...， ξk,ξ∘∈Rmξk,ξ∘∈Rm\xi_k, \xi_{\circ} \in \mathbb{R^m} 最小化无法解释的方差，即解决以下四次优化问题 argminu1,..,un, ξ1,..,ξk∑i(UTξi−xi)2argminu1,..,un, ξ1,..,ξk⁡∑i(UTξi−xi)2 \mathop{argmin} \limits_{u_1,.., u_n,\ \xi_1, .., \xi_k} \sum \limits_{i} \left( U^T \xi_i - x_i \right)^2 通过对称魔术，它具有奇异值分解的解决方案 广义PCA。与PCA相同，但现在有了一个精度矩阵Ai∈RnxRnAi∈RnxRnA_i \in \mathbb{R^n x R^n} 与每个可观察到的相关 xixix_i。问题变得更加复杂 argminu1,..,un, ξ1,..,ξk∑i(AiUTξi−xi)2argminu1,..,un, ξ1,..,ξk⁡∑i(AiUTξi−xi)2 \mathop{argmin} \limits_{u_1,.., u_n,\ …

9 ds.algorithms  polynomials  semidefinite-programming