垄断对什么需求功能最有害？
考虑边际成本为零的公司。如果免费提供产品，则所有需求都将得到满足，社会福利将以最大可能的数量增加；把这种增长。WWW 但是由于该公司是垄断企业，因此它减少了需求并提高了价格，以优化其收入。现在，社会福利增加的幅度较小，例如，VVV。 将相对福利损失（失重损失）定义为： W/VW/VW/V。该比率取决于需求函数的形状。所以我的问题是：这个比率是有界的，还是可以任意大？特别是： 如果是有界的，那么对于什么需求函数最大化？W/VW/VW/V 如果是无限的，那么对于哪个需求函数族，它可以任意大？W/VW/VW/V 这是我到目前为止尝试过的。令为消费者的边际效用函数（这也是逆需求函数）。假定它是有限的，平滑的，单调递减的，并且缩放到域。令为其反导数。然后：u(x)u(x)u(x)x∈[0,1]x∈[0,1]x\in[0,1]U(x)U(x)U(x) W=U(1)−U(0)W=U(1)−U(0)W = U(1)-U(0)，下的总面积。uuu V=U(xm)−U(0)V=U(xm)−U(0)V = U(x_m)-U(0)，其中是垄断产生的数量。除“失重”部分外，这是下的区域。xmxmx_muuu xm=argmax(x⋅u(x))xm=argmax(x⋅u(x))x_m = \arg \max (x \cdot u(x)) =使生产者的收入最大化的数量（标记的矩形）。 xmxmx_m通常可以使用一阶条件计算：。u(xm)=−xmu′(xm)u(xm)=−xmu′(xm)u(x_m) = -x_m u'(x_m) 为了了解行为，我尝试了一些函数系列。W/VW/VW/V 令，其中是一个参数。然后：u(x)=(1−x)t−1u(x)=(1−x)t−1u(x)=(1-x)^{t-1}t>1t>1t>1 U(x)=−(1−x)t/tU(x)=−(1−x)t/tU(x)=-(1-x)^{t}/t。 一阶条件为：。xm=1/txm=1/tx_m=1/t W=U(1)−U(0)=1/tW=U(1)−U(0)=1/tW=U(1)-U(0) = 1/t V=U(xm)−U(0)=(1−(t−1t)t)/tV=U(xm)−U(0)=(1−(t−1t)t)/tV=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t W/V=1/[1−(t−1t)t]W/V=1/[1−(t−1t)t]W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}] 当， ，因此对于这个族，是有界的。t→∞t→∞t\to\inftyW/V→1/(1−1/e)≈1.58W/V→1/(1−1/e)≈1.58W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58W/VW/VW/V 但是其他家庭怎么办？这是另一个示例： 令，其中是一个参数。然后：u(x)=e−txu(x)=e−txu(x)=e^{-t x}t>0t>0t>0 U(x)=−e−tx/tU(x)=−e−tx/tU(x)=-e^{-t x}/t。 一阶条件为：。xm=1/txm=1/tx_m=1/t W=U(1)−U(0)=(1−e−t)/tW=U(1)−U(0)=(1−e−t)/tW=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t V=U(xm)−U(0)=(1−e−1)/tV=U(xm)−U(0)=(1−e−1)/tV=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t W/V=(1−e−t)/(1−e−1)W/V=(1−e−t)/(1−e−1)W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1}) …