Questions tagged «iterative-method»

一种产生数值近似序列的方法，通常通过重复应用某些过程来收敛（满足所提供的技术条件）到问题的解决方案。示例包括用于根查找的牛顿方法和用于矩阵向量求解的Jacobi迭代。

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如何选择一种求解线性方程的方法
据我所知，有四种方法可以解决线性方程组（如果有更多方法，请纠正我）： 如果系统矩阵是满级方阵，则可以使用Cramer规则； 计算系统矩阵的逆或伪逆； 使用矩阵分解方法（将高斯或高斯-乔丹消除法视为逻辑分解）； 使用迭代方法，例如共轭梯度法。 实际上，您几乎从不希望通过使用Cramer规则或计算逆或伪逆来求解方程，尤其是对于高维矩阵，因此第一个问题是何时分别使用分解方法和迭代方法。我猜这取决于系统矩阵的大小和属性。 就您所知，第二个问题是，就数值稳定性和效率而言，哪种分解方法或迭代方法最适合某些系统矩阵。 例如，使用共轭梯度法来求解方程，其中矩阵是对称和正定的，虽然它也可以应用到任何线性方程通过转换Ax=bAx=b\mathbf{A}x=b到ATAx=ATbATAx=ATb\mathbf{A}^{\rm T}\mathbf{A}x=\mathbf{A}^{\rm T}b。对于正定矩阵，也可以使用Cholesky分解方法来寻找解。但是我不知道何时选择CG方法以及何时选择Cholesky分解。我的感觉是，对于大型矩阵，我们最好使用CG方法。 对于矩形矩阵，我们可以使用QR分解或SVD，但同样，我也不知道如何选择其中之一。 对于其他矩阵，我现在不介绍如何选择合适的求解器，例如厄米/对称矩阵，稀疏矩阵，带矩阵等。
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为什么我的迭代线性求解器不收敛？
使用KSP（PETSc）的预先设定的Krylov方法时会出什么问题的线性求解器程序包）中的求解稀疏线性系统（例如通过离散化和线性化偏微分方程获得的线性系统）时，会出现什么问题？ 我可以采取什么步骤来确定问题出了什么问题？ 为了成功有效地求解线性系统，我可以进行哪些更改？
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在寻找针对特定问题的良好预处理方法时，应使用哪些准则？
对于使用迭代方法求解大型线性系统，通常需要引入预处理，例如，求解，其中用于系统的左预处理。通常，与原始系统的解决方案相比，我们应该使并提供（更多）有效解决方案或减少计算资源（例如内存存储）的基础（即当。但是，我们应该使用什么准则来选择预处理器？从业者如何针对他们的特定问题呢？中号- 1（甲X = b ）中号中号- 1 ≈ 甲- 1中号= 甲甲X = bAx=bAx=b中号− 1（A x = b ）M−1(Ax=b)M^{-1}(Ax=b)中号MM中号− 1≈ 一− 1M−1≈A−1M^{-1}\approx A^{-1}中号= AM=AM=A
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BFGS更新的直观动机
我正在教一个数值分析调查课，并且正在为背景/直觉有限的学生寻求BFGS方法的动力！ Ĵ ķ（→ X ķ - → X ķ - 1）= ˚F （→ X ķ）- ˚F （→ X ķ - 1）∥ Ĵķ− Jk − 1∥2来回‖Ĵķ-Ĵķ-1个‖来回2\|J_k-J_{k-1}\|^2_{\textrm{Fro}}Ĵķ（x⃗ ķ− x⃗ k − 1）= f（x⃗ ķ）− f（x⃗ k − 1）Ĵķ（X→ķ-X→ķ-1个）=F（X→ķ）-F（X→ķ-1个）J_k(\vec x_k-\vec x_{k-1})=f(\vec x_k)-f(\vec x_{k-1}) BFGS更新的派生似乎更加复杂和模糊！特别是，我不想先验地认为更新应为等级2或采用特定形式。BFGS Hessian更新是否像Broyden的更新一样具有短暂的变化动机？
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多项式前置条件的当前状态是什么？
我不知道多项式前置条件发生了什么。我对它们感兴趣，因为从数学角度看它们看上去比较优雅，但是据我在有关克雷洛夫方法的调查中所读到的那样，它们作为预处理器的性能通常很差。用Saad和van der Host的话说，“对这些技术的当前兴趣几乎消失了” （此处）。但是，最近在多核和GPU计算中已得到使用。 谁能告诉我或者更确切地说是我在哪些情况下这些方法仍然有效，以及在哪里可以找到有关当前最新技术水平的良好调查？
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Krylov子空间方法可以用作多网格的平滑器吗？
据我所知，多网格求解器使用迭代平滑器（例如Jacobi，Gauss-Seidel和SOR）来衰减各种频率下的误差。可以使用Krylov子空间方法（例如共轭梯度，GMRES等）代替吗？我不认为它们被归类为“平滑剂”，但是它们可以用于近似粗网格解决方案。我们可以期望看到与标准多网格方法类似的解决方案收敛吗？还是取决于问题？
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定点问题中的非单调收敛
背景 我正在从液体理论中解决Ornstein-Zernike方程的一个变体。抽象地，该问题可以表示为解决不动点问题，其中是一个积分代数算子，而是解函数（OZ直接相关函数）。我正在通过Picard迭代进行求解，在这里我提供了初始试验解决方案并通过方案生成了新的试验解决方案 其中是一个可调参数，用于控制和的混合甲Ç （[R ）Ç 0（[R ）ç Ĵ + 1 = α （甲Ç Ĵ）+ （1 - α ）Ç Ĵ，α Ç 甲Ç α ε Δ Ĵ + 1＆equiv; ∫ d → [R | c j + 1（Ac(r)=c(r)Ac(r)=c(r)A c(r)=c(r)AAAc(r)c(r)c(r)c0(r)c0(r)c_0(r)cj+1=α(Acj)+(1−α)cj ,cj+1=α(Acj)+(1−α)cj , c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~, αα\alphacccAcAcAc在下一个试用解决方案中使用。对于此讨论，我们假设的值不重要。我重复直到迭代收敛到期望的公差： 在我的问题变体中，取决于参数，而我的问题是关于的收敛性如何取决于此参数。αα\alphaϵϵ\epsilon甲λ 甲Ç = …
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了解迭代方法的“收敛速度”
根据维基百科，收敛速度表示为矢量规范的特定比率。我试图了解在不同时间点（基本上是在迭代的“开始”和“结束”）“线性”速率和“二次”速率之间的差异。可以这样说： ek+1ek+1e_{k+1}xk+1xk+1x_{k+1}∥ek∥‖ek‖\|e_k\| 通过二次收敛，迭代的误差的范数以为边界ek+1ek+1e_{k+1}xk+1xk+1x_{k+1}∥ek∥2‖ek‖2\|e_k\|^2 这种解释将意味着，在线性收敛算法A1的迭代次数很少（假设为随机初始化）的情况下，与二次收敛算法A2的迭代次数很少相比，将实现较小的误差。但是，由于误差减小了，并且由于平方，所以以后进行迭代将意味着A2的误差较小。 以上解释有效吗？注意，它忽略了速率系数。λλ\lambda
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使用定点迭代解耦PDE系统
假设我有一个边值问题： d2udx2+dvdx=f in Ωd2udx2+dvdx=f in Ω\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega dudx+d2vdx2=g in Ωdudx+d2vdx2=g in Ω\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega u=h in ∂Ωu=h in ∂Ωu=h \text{ in } \partial\Omega 我的目标是将这个耦合问题的解决方案分解为一系列非耦合PDE。为了使系统解耦，我对一系列近似值应用定点迭代，(uk,vk)(uk,vk)(u^k,v^k)以便 d2ukdx2+dvk−1dx=fd2ukdx2+dvk−1dx=f\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f duk−1dx+d2vkdx2=gduk−1dx+d2vkdx2=g\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g 从理论上讲，这将使我能够将两个方程作为纯椭圆PDE求解。但是，我从未见过以这种方式将定点迭代应用于PDE。我已经看到定点迭代应用于数字离散方程（有限差分法，有限元方法等），但从未直接应用于连续方程。 我这样做违反了任何公然的数学原理吗？这在数学上有效吗？我可以通过使用应用于连续变量问题而不是离散变量问题的定点迭代来将耦合PDE求解为非耦合PDE的序列吗？ 在这一点上，我并不真正在乎使用这种方法是否可行，而是在理论上是否可行。任何反馈将不胜感激！
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最小特征值无逆
假设甲∈ řn × n一种∈[Rñ×ñA\in\mathbb{R}^{n\times n}是对称正定矩阵。 一种一种A足够大，以至于直接求解昂贵甲X = b一种X=bAx=b。 是否有一种迭代算法来查找的最小特征值，而一种一种A该特征值在每次迭代中都不会反转一种一种A？ 也就是说，我必须使用共轭梯度之类的迭代算法来求解，因此重复应用A - 1似乎是一个昂贵的“内部循环”。我只需要一个特征向量。甲X = b一种X=bAx=b一种− 1一种-1个A^{-1} 谢谢！
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科学代码性能的基本结构是什么？
考虑两台具有不同硬件和软件配置的计算机。在每个平台上运行完全相同的序列Navier-Stokes代码时，分别需要花费x和y的时间分别为计算机1和2执行一次迭代。在这种情况下，是计算机1和计算机2之间的迭代时间差。Δ = x - yΔ=X-ÿ\Delta = x-y 可能会影响的大小？一个明显的候选者是CPU，我的主要问题是，是否还有其他因素可能会影响与CPU之间的硬件差异相同？ΔΔΔ\DeltaΔΔ\Delta
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伸出的零空间
给出了系统其中甲∈ [R Ñ × Ñ，我读的是，在壳体的Jacobi迭代用作解算器，该方法将不收敛，如果b具有在零空间非零分量甲。因此，如果b具有一个跨越A的零空间的非零分量，那么雅可比方法将是一个非收敛的形式上的形式化说法？我想知道如何将其数学形式化，因为正交于零空间的部分解决方案确实会收敛。Ax=b,Ax=b,Ax=b,A∈Rn×nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n}bbbAAAbbbAAA 因此，通过在每个迭代中投影的零空间，它会收敛（或？）。AAA ...... 我特别感兴趣的情况下 其中大号是与由向量所跨越的零空间的对称拉普拉斯矩阵1 ñ = [ 1 ... 1 ] Ť ∈ [R Ñ，和b具有零在组分L的零空间，J b = b ，其中J = I − 1Lx=b,Lx=b,Lx=b,LLL1n=[1…1]T∈Rn1n=[1…1]T∈Rn1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^nbbbLLLJb=b,Jb=b,Jb=b,是中心矩阵。这是否意味着每个Jacobi迭代将投影L的零空间，即每个迭代将居中？我要问的是，从那时起，就不需要从Jacobi迭代中投影L的零空间（或者换句话说，将迭代的中心）。J=I−1n1n1TnJ=I−1n1n1nTJ=I-\frac{1}{n}1_n1_n^TLLLLLL
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在实践中，如何确定大型线性系统的迭代方法是收敛的？
在计算科学中，我们经常遇到大型线性系统，我们需要通过某些（有效的）手段（例如，直接方法或迭代方法）对其进行求解。如果我们专注于后者，那么在实践中如何确定求解大型线性系统的迭代方法是收敛的？ 显然，我们可以进行反复试验分析（请参阅为什么我的迭代线性求解器不收敛？），并依靠可以通过证明保证收敛或具有良好经验基础的迭代方法（例如CG和GMRES等Krylov子空间方法）分别用于对称和非对称系统）。 但是，在实践中如何建立融合？怎么办？
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为什么迭代求解Hartree-Fock方程会导致收敛？
在求解时间独立电子Schroedinger方程的Hartree-Fock自洽场方法中，相对于自旋的选择，我们力求最小场电子系统的基态能量轨道。 { χ 我 }E0E0E_{0}{χi}{χi}\{\chi_{i}\} 我们通过迭代求解1电子Hartree-Fock方程 ，其中是电子的自旋/空间坐标，是轨道特征值，是Fock算子（1电子算子） ，格式为 （求和遍及原子核，这里是原子核A上的核电荷，而是原子核上的核电荷）电子和原子核之间的距离。X我我ε ˚F我 ˚F我=-1F^一世χ （x一世）= ε χ （X一世）f^iχ(xi)=εχ(xi)\hat{f}_{i}\chi(\mathbf{x}_{i})=\varepsilon\chi(\mathbf{x}_{i})X一世xi\mathbf{x}_{i}一世iiεε\varepsilonf^if^i\hat{f}_{i} Ž甲ř我甲我甲V ħ ˚F我我V ħ ˚F我 χĴf^i=−12∇2i−∑A=1MZAriA+VHFif^i=−12∇i2−∑A=1MZAriA+ViHF\hat{f}_{i} = -\frac{1}{2}\nabla^{2}_{i}-\sum_{A=1}^{M}\frac{Z_{A}}{r_{iA}}+V^{\mathrm{HF}}_{i}ZAZAZ_{A}riAriAr_{iA}iiiAAAVHFiViHFV^{\mathrm{HF}}_{i}是电子由于系统中所有其他电子而感受到的平均电势。由于依赖于其他电子的自旋轨道，因此可以说Fock算子依赖于其本征函数。在A. Szabo和N. Ostlund，第54页（第一版）的“现代量子化学”中，他们写道“ Hartree-Fock方程（2.52）是非线性的，必须迭代求解”。我已经研究了此迭代解决方案的细节，这是我研究的一部分，但是对于这个问题，我认为它们并不重要，除了陈述该方法的基本结构是：iiiVHFiViHFV_{i}^{\mathrm{HF}}χjχj\chi_{j} 初步自旋轨道并计算。V ħ ˚F我{χi}{χi}\{\chi_{i}\}VHFiViHFV_{i}^{\mathrm{HF}} 对这些自旋轨道求解上面的特征值方程，并获得新的自旋轨道。 对新的自旋轨道重复此过程，直到达到自洽。 在这种情况下，当用于使的自旋轨道与求解特征值方程时所获得的自旋轨道相同时，就实现了自洽。VHFiViHFV_{i}^{\mathrm{HF}} 我的问题是：我们如何知道这种融合将会发生？为什么连续迭代解的本征函数在某种意义上会“趋向于”收敛的情况？解决方案是否可能会分歧？我不知道如何防止这种情况。 作为另一个问题，我想知道为什么会聚的本征函数（自旋轨道）会提供最佳（即最低）基态能量。在我看来，该方程的迭代解在某种程度上具有“内置”收敛性和能量最小化。也许方程中内置了一些约束来确保收敛？ 从Physics Stack Exchange交叉发布：https：//physics.stackexchange.com/q/20703/why-does-iteratively-solving-the-hartree-fock-equations-result-in-convergence
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