澄清信息几何
此问题与Amari撰写的《弯曲指数家庭的微分几何-曲率和信息损失》有关。 全文如下。 令是具有坐标系统的维概率分布流形，其中假设 ...Sn={pθ}Sn={pθ}S^n=\{p_{\theta}\}nnnθ=(θ1,…,θn)θ=(θ1,…,θn)\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)pθ(x)>0pθ(x)>0p_{\theta}(x)>0 我们可以把每一个点的作为承载功能的 ...θθ\thetaSnSnS^nlogpθ(x)logpθ(x)\log p_{\theta}(x)xxx 让是切空间在，这一点，粗略地说，有一小附近的线性化版本标识在。令是与协调系统关联的的自然基础...TθTθT_{\theta}SnSnS^nθθ\thetaθθ\thetaSnSnS^nei(θ),i=1,…,nei(θ),i=1,…,ne_i(\theta), i=1,\dots,nTθTθT_{\theta} 由于每个点的携带功能的，很自然地认为在作为表示函数θθ\thetaSnSnS^nlogpθ(x)logpθ(x)\log p_{\theta}(x)xxxei(θ)ei(θ)e_i(\theta)θθ\thetaei(θ)=∂∂θilogpθ(x).ei(θ)=∂∂θilogpθ(x).e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x). 我不明白最后的陈述。这出现在上述论文的第2节中。上式如何给出切线空间的基础？如果该社区中熟悉此类材料的某人可以帮助我理解这一点，将会很有帮助。谢谢。 更新1： 尽管我同意（来自@aginensky），如果是线性独立的，则由于它们也是线性独立的，所以这些切线空间的成员首先是如何的还不是很清楚。因此如何将视为切线空间的基础。任何帮助表示赞赏。∂∂θipθ∂∂θipθ\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}∂∂θilogpθ∂∂θilogpθ\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}∂∂θilogpθ∂∂θilogpθ\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta} 更新2： @aginensky：Amari在他的书中说： 让我们考虑以下情况：，上所有（严格）正概率度量的集合，其中我们将视为。实际上，是仿射空间一个开放子集。Sn=P(X)Sn=P(X)S^n=\mathcal{P}(\mathcal{X})X={x0,…,xn}X={x0,…,xn}\mathcal{X}=\{x_0,\dots,x_n\}P(X)P(X)\mathcal{P}(\mathcal{X})RX={X∣∣X:X→R}RX={X|X:X→R}\mathbb{R}^{\mathcal{X}}=\{X\big|X:\mathcal{X}\to \mathbb{R}\}P(X)P(X)\mathcal{P}(\mathcal{X}){X∣∣∑xX(x)=1}{X|∑xX(x)=1}\{X\big |\sum_x X(x)=1\} 然后切空间的每一点可以自然地与所确定的线性子空间。对于coordiante系统的自然基础，我们有。Tp(Sn)Tp(Sn)T_p(S^n)SnSnS^nA0={X∣∣∑xX(x)=0}A0={X|∑xX(x)=0}\mathcal{A}_0=\{X\big |\sum_x X(x)=0\}∂∂θi∂∂θi\frac{\partial}{\partial\theta_i}θ=(θ1,…,θn)θ=(θ1,…,θn)\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)(∂∂θi)θ=∂∂θipθ(∂∂θi)θ=∂∂θipθ(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta} 接下来，就让我们再嵌入，并确定与该亚群的。的切线矢量然后通过操作的结果表示到，我们通过表示。特别是，我们有。显然和 p↦logpp↦logpp\mapsto \log pSnSnS^nlogSn:={logp∣∣p∈Sn}logSn:={logp|p∈Sn}\log S^n:=\{\log p\big |p\in S^n\}RXRX\mathbb{R}^{\mathcal{X}}X∈Tp(Sn)X∈Tp(Sn)X\in T_p(S^n)XXXp↦logpp↦logpp\mapsto \log pX(e)X(e)X^{(e)}(∂∂θi)(e)θ=∂∂θilogpθ(∂∂θi)θ(e)=∂∂θilogpθ(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}^{(e)}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}X(e)=X(x)/p(x)X(e)=X(x)/p(x)X^{(e)}=X(x)/p(x)T(e)p(Sn)={X(e)∣∣X∈Tp(Sn)}={A∈RX∣∣∑xA(x)p(x)=0}.Tp(e)(Sn)={X(e)|X∈Tp(Sn)}={A∈RX|∑xA(x)p(x)=0}.T_p^{(e)}(S^n)=\{X^{(e)}\big |X\in T_p(S^n)\}=\{A\in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}\big |\sum_x A(x)p(x)=0\}. 我的问题：如果和都是切线空间的基础，那么这不会与事实和是不同的和？∂∂θi∂∂θi\frac{\partial}{\partial\theta_i}(∂∂θi)(e)(∂∂θi)(e)(\frac{\partial}{\partial\theta_i})^{(e)}TpTpT_pT(e)pTp(e)T_p^{(e)}∂∂θi(e)∈T(e)p∂∂θi(e)∈Tp(e)\frac{\partial}{\partial\theta_i}^{(e)}\in T_p^{(e)} 我猜想（）和之间似乎存在关联。如果您可以澄清这一点，将有很大帮助。您可以给出答案。Sn,TpSn,TpS^n,T_p(logSn,T(e)p)(logSn,Tp(e))(\log S^n,T_p^{(e)})