Questions tagged «probability»

概率提供了特定事件可能发生的定量描述。

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为什么总是使用均值0和标准差1分布？
我的统计数据是自学的，但是我阅读的许多资料都指向平均值为0，标准差为1的数据集。 如果是这样，那么： 为什么平均值0和SD 1是一个不错的属性？ 为什么从该样本中得出的随机变量等于0.5？抽取0.001的机会与0.5相同，因此这应该是平坦分布... 当人们谈论Z分数​​时，这实际上是什么意思？
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分布变量的已知最清晰的尾边界是什么？
令是具有自由度的卡方分布随机变量。以下概率的最明确的已知界限是什么X∼χ2kX∼χk2X \sim \chi^2_kkkk P[X&gt;t]≤1−δ1(t,k)P[X&gt;t]≤1−δ1(t,k) \mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k) 和 P[X&lt;z]≤1−δ2(z,k)P[X&lt;z]≤1−δ2(z,k) \mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k) 其中和是一些函数。指向相关论文的指针将不胜感激。δ1δ1\delta_1δ2δ2\delta_2
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Wolfram Mathworld是否会错误地描述具有概率密度函数的离散概率分布？
通常，使用概率质量函数（PMF）描述离散变量的概率分布： 当使用连续随机变量时，我们使用概率密度函数（PDF）而不是概率质量函数来描述概率分布。 - 深度学习的古德费洛，Bengio和库维尔 但是，Wolfram Mathworld使用PDF来描述离散变量的概率分布： 这是一个错误吗？还是没关系？
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我可以使用分布的矩采样分布吗？
我注意到在统计/机器学习方法中，分布通常由高斯近似，然后将高斯用于采样。它们通过计算分配的所述第一两个时刻开始，并使用这些估计μμ\mu和σ2σ2\sigma^2。然后他们可以从那个高斯样本中取样。 在我看来，我计算出的力矩越多，我越应该能够估计出我想要采样的分布。 如果我计算3个矩该怎么办...如何使用这些矩从分布中采样？这可以扩展到N个时刻吗？
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如果
题 如果X1,⋯,Xn∼N(μ,1)X1,⋯,Xn∼N(μ,1)X_1,\cdots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu, 1)是IID，则计算E(X1∣T)E(X1∣T)\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right)，其中T=∑iXiT=∑iXiT = \sum_i X_i。 尝试：请检查以下是否正确。 让我们说，我们采取的这些条件期望使得总和 ∑iE(Xi∣T)=E(∑iXi∣T)=T.∑iE(Xi∣T)=E(∑iXi∣T)=T.\begin{align} \sum_i \mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \mathbb{E}\left( \sum_i X_i \mid T \right) = T . \end{align} 这意味着每个E(Xi∣T)=TnE(Xi∣T)=Tn\mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \frac{T}{n}因为X1,…,XnX1,…,XnX_1,\ldots,X_n是IID。 因此，E(X1∣T)=TnE(X1∣T)=Tn\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right) = \frac{T}{n}。这是对的吗？
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零假设为真的概率
因此，这可能是一个常见问题，但我从未找到令人满意的答案。 您如何确定原假设为真（或假）的概率？ 假设您给学生提供了两种不同的测试版本，并且想要查看这些版本是否等效。您执行t检验，其p值为.02。多么好的p值！那一定意味着测试不可能等效，对吗？不会。不幸的是，看来P（results | null）不能告诉您P（null | results）。正常的做法是在遇到低p值时拒绝原假设，但是我们如何知道我们并未拒绝很可能是真的原假设呢？举一个愚蠢的例子，我可以设计一个误报率为0.02的埃博拉病毒测试：将50个球装进一个桶中，并在上面写下“埃博拉病毒”。如果我对此进行测试，然后他们选择“埃博拉”球，则p值（P（捡起球|他们没有埃博拉））为.02， 到目前为止，我已经考虑过的事情： 假设P（null | results）〜= P（results | null）–对于某些重要应用显然是错误的。 在不知道P（null |结果）的情况下接受或拒绝假设–那么我们为什么接受或拒绝它们呢？难道我们不是要拒绝我们认为是假的而是接受是假的全部吗？ 使用贝叶斯定理–但是您如何获得先验？您是否最终还是回到原地试图通过实验确定它们？先验地挑选他们似乎很武断。 我在这里发现了一个非常类似的问题：stats.stackexchange.com/questions/231580/。这里的一个答案似乎基本上是在说，因为这是贝叶斯问题，所以问零假设为真的可能性是没有意义的。也许我的心是贝叶斯，但我无法想象不问这个问题。实际上，p值最常见的误解似乎是它们是真实零假设的概率。如果您真的不能作为常客问这个问题，那么我的主要问题是＃3：如何在不陷入困境的情况下获得先验知识？ 编辑：感谢您的所有周到的答复。我想谈谈几个共同的主题。 概率的定义：我肯定对此有很多文献，但是我的幼稚概念是“相信完全理性的人会提供信息”或“在这种情况下能使利润最大化的下注几率”被重复，未知数被允许改变”。 我们可以知道P（H0 |结果）吗？当然，这似乎是一个棘手的问题。但是我相信，每个概率在理论上都是可以理解的，因为概率总是以给定信息为条件。每个事件都会发生或不会发生，因此没有完整的信息就不存在概率。它仅在没有足够信息时存在，因此应该是可知的。例如，如果我被告知某人有一个硬币，并询问正面的概率，我会说是50％。可能硬币的正面重量为70％，但我没有得到该信息，所以我所拥有的信息的概率为50％，就像它碰巧掉在地上一样，概率为70％当我知道这一点。由于概率总是以一组（不足的）数据为条件， 编辑：“总是”可能太强了。可能存在一些我们无法确定概率的哲学问题。尽管如此，在现实世界中，尽管我们可以“几乎永远”拥有绝对的确定性，但“几乎总是”应该是一个最佳估计。
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帕兰蒂尔（Palantir）的亚洲歧视案：概率是如何计算的？
我读了这篇有关Palantir案的文章，该案涉及劳动部指责他们歧视亚洲人。有谁知道他们从哪里获得这些概率估计值的？ 我在项目（a）中得不到1/741。 （a）对于QA工程师职位，Palantir从730多名合格的申请人（其中约77％是亚洲人）中聘用了6名非亚洲人申请者，并且仅雇用了一名亚洲人申请者。OFCCP计算出的不利影响超过了三个标准偏差。根据机会发生此结果的可能性约为741。 （b）在软件工程师职位中，Palantir雇用了1,160多名合格的申请者，其中大约85％是亚洲人，Palantir雇用了14名非亚洲人申请者，仅雇用了11名亚洲人申请者。OFCCP计算出的不利影响超过了五个标准偏差。该结果根据偶然发生的可能性约为340万。 （c）对于QA工程师实习生职位，Palantir雇用了130多名合格的申请人（其中约73％是亚洲人）聘用了17名非亚洲人申请者，仅雇用了4名亚洲人申请者。OFCCP计算出的不利影响超过了六个标准偏差。根据机会发生此结果的可能性约为十亿分之一。
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为什么（0,1）上连续和变量的总和要超过1的数量均具有平均值
让我们总结随机变量，流X 我我我d 〜 ù（0 ，1 ）Xi∼iidU(0,1)X_i \overset{iid}\sim \mathcal{U}(0,1) ; 令YYY为总数需要超过1的项的数量，即YYY是最小的项，使得 X 1 + X 2 + ⋯ + X Y &gt; 1。X1+X2+⋯+XY&gt;1.X_1 + X_2 + \dots + X_Y > 1. 为什么Y的均值YY等于欧拉常数eee？ E（Y ）= e = 10 ！+11 ！+12 ！+13 ！+…E(Y)=e=10!+11!+12!+13!+…\mathbb{E}(Y) = e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} …
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证明使用高斯混合的合理依据
高斯混合模型（GMM）之所以吸引人，是因为它们在分析和实践中都易于使用，并且能够建模某些奇特的分布而不会过于复杂。我们应该保留一些分析属性，这些属性通常并不明确。尤其是： SnSnS_nnnnPPPnnnPPPlimn→∞infP^∈SnD(P||P^)=0?limn→∞infP^∈SnD(P||P^)=0?\lim_{n\rightarrow \infty}\inf_{\hat{P}\in S_n} D(P||\hat{P})=0? 假设我们有一个连续分布PPP，我们发现了一个NNN分量高斯混合P^P^\hat{P}，它的总变化量接近PPP：δ(P,P^)&lt;εδ(P,P^)&lt;ε\delta(P,\hat{P})<\varepsilon。我们可以用\ epsilon约束D（P || \ hat {P}）吗？D(P||P^)D(P||P^)D(P||\hat{P})ϵϵ\epsilon 如果我们想通过独立的加性噪声Y \ sim P_Y（真实的，连续的）观察X \ sim P_X，并且我们有GMM \ hat {X} \ sim Q_X，\ hat {Y} \ sim Q_N其中\ delta（P ，Q）&lt;\ epsilon，则此值较小：\ left | \ mathsf {mmse}（X | X + Y）-\ mathsf {mmse}（\ hat {X} | \ hat {X} + …
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均值相同，方差不同
假设您有八位跑步者参加比赛；他们各自的运行时间的分布是正常的，每个平均有秒。流道的标准偏差是最小的，第二个是第二个，第三个是最小，依此类推，八个最大。有两个问题使我感到困惑：（1）第一个击败最后一个的概率是多少；（2）谁最有可能赢得比赛？111111 我的答案分别是和。由于它们的均值相同，因此的概率仅为，不是吗？我该如何严格地证明第二部分，以及可以计算出获胜的确切概率？提前致谢。1/21/21/2888x¯1−x¯8&lt;0x¯1−x¯8&lt;0\bar x_1-\bar x_8\lt 01/21/21/2
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评审团的偏见？
刑事审判后，一位朋友代表客户提出上诉，陪审团的选择似乎带有种族偏见。 评审团由4个种族组成的30人组成。检方使用了强制性的挑战，以从池中消除了10个人。每个种族群体的人数和实际挑战的数量分别是： A: 10, 1 B: 10, 4 C: 6, 4 D: 4, 1 total: 30 in pool, 10 challenges 被告来自种族C组，受害者来自种族A和D组，因此先验问题是C组是否受到过挑战，而A和D组受到了挑战。从法律上讲（IIUC; IANAL），辩方不需要证明种族偏见，而只是表明数据似乎表明存在偏见，这便使控方有责任从非种族角度解释每项挑战。 以下分析的方法正确吗？（我认为计算很好。）： 有10个池成员的nCr（30,10）= 30,045,015个不同的集合。在这些不同的集合中，我计算出433,377个集合同时包含（不超过A组和D组的2个成员）和（不少于C组的4个成员）。 因此，达到观察到的明显偏见水平的机会比A组和D组优于C组（其中10项挑战中不包括偏爱）是它们的比率，即433/30045 = 1.44％。 因此，原假设（无此类偏差）在5％的显着性水平上被拒绝。 如果这种分析在方法上是正确的，那么向法院描述它的最简洁方法是什么，包括学术/专业参考文献（即不是Wikipedia）？虽然论点看起来很简单，但如何能最清楚，最简洁地向法院证明它是正确的，而不是恶作剧呢？ 更新：在上诉摘要中，该问题已作为三级辩论进行了审议。考虑到此处讨论的技术复杂性（从律师的角度来看）以及明显缺乏法律先例，律师选择不提出建议，因此在这一点上，问题主要是理论上/教育上的。 要回答一个细节：我相信挑战的数量是10个。 在研究了周到且具有挑战性的答案和评论（谢谢！）之后，似乎这里有4个独立的问题。至少对我来说，将它们分开考虑（或听听为什么它们不可分离的争论）是最有帮助的。 1）在陪审团的挑战中，是否优先考虑被告人和受害者的种族？上诉论点的目的仅是引起合理关注，这可能导致司法命令，要求检方陈述每个单独质疑的理由。在我看来，这不是一个统计问题，而是一个社会/法律问题，由律师酌情决定是否提出。 2）假设（1），我对替代假设的选择（定性：对分享被告人的种族的陪审员的偏见，而赞成分享被害人的种族的偏见）是合理的，还是事后不允许？从我的外行角度来看，这是最令人困惑的问题-是的，如果一个人不遵守，当然不会提出！据我了解，问题在于选择偏见：一个人的测试不仅应考虑这个陪审团池，还应考虑所有此类陪审团池的范围，包括所有未发现辩护方存在差异并因此不愿意提出该问题的陪审员池。 。如何解决这个问题？（例如，安迪的测验如何解决这个问题？）看来，尽管我对此可能有误，但大多数受访者并未为可能的事后调查感到困扰1尾测试，仅针对被告所在的群体进行偏见测试。假设（1），同时测试受害者群体的偏见在方法上有何不同？ 3）如果有人规定我选择（2）中所述的定性替代假设，那么检验它的合适统计量是什么？这是我最困惑的地方，因为我建议的比率似乎与安迪关于更简单的“偏于C的”替代假设的检验的保守度稍高（更保守，因为我的检验也将所有情况都排除在外）在尾部，而不仅仅是观察到的确切数字。） 两种检验都是简单的计数检验，具有相同的分母（样本的相同宇宙），并且分子精确地对应于与各个替代假设相对应的那些样本的频率。那么，@ whuber，为什么它和安迪的计数测试不一样，因为它“可以基于规定的空值[相同]和替代性的[描述的]假设，并使用内曼-皮尔森引理证明是正确的”？ 4）如果有人规定（2）和（3），那么在判例法中是否存在可以说服怀疑上诉法院的内容？从迄今为止的证据来看，可能还没有。同样，在上诉的这个阶段，没有任何“专家证人”的机会，因此参考就是一切。
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如何计算经验概率密度之间的重叠？
我正在寻找一种方法来计算R中两个内核密度估计之间的重叠区域，以度量两个样本之间的相似性。为了澄清，在下面的示例中，我需要量化紫色重叠区域的面积： library(ggplot2) set.seed(1234) d &lt;- data.frame(variable=c(rep("a", 50), rep("b", 30)), value=c(rnorm(50), runif(30, 0, 3))) ggplot(d, aes(value, fill=variable)) + geom_density(alpha=.4, color=NA) 这里讨论了一个类似的问题，不同之处在于我需要对任意经验数据而不是预定义的正态分布进行此操作。该overlap软件包解决了这个问题，但显然仅用于时间戳记数据，这对我不起作用。Bray-Curtis索引（在vegan包的vegdist(method="bray")函数中实现）似乎也很相关，但对于有些不同的数据也是如此。 我对理论方法和我可能会采用的R函数都感兴趣。
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正方变量和卡方变量平方的卷积分布？
最近在分析数据时出现了以下问题。如果随机变量X遵循正态分布且Y遵循χ2nχn2\chi^2_n分布（其中n自由度），如何是Z=X2+Y2Z=X2+Y2Z = X^2 + Y^2分布？到现在为止我想出的PDF Y2Y2Y^2： ψ2n(x)====∂F(x−−√)∂x(∫x√0tn/2−1⋅e−t/22n/2Γ(n/2)dt)′x12n/2Γ(n/2)⋅(x−−√)n/2−1⋅e−x√/2⋅(x−−√)′x12n/2−1Γ(n/2)⋅xn/4−1⋅e−x√/2ψn2(x)=∂F(x)∂x=(∫0xtn/2−1⋅e−t/22n/2Γ(n/2)dt)x′=12n/2Γ(n/2)⋅(x)n/2−1⋅e−x/2⋅(x)x′=12n/2−1Γ(n/2)⋅xn/4−1⋅e−x/2\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray} 以及一些简化的卷积积分（具有PDF χ 2 米，其中m自由度）：X2X2X^2χ2mχm2\chi^2_m Kmn(t):===(χ2m∗ψ2n)(t)∫t0χ2m(x)⋅ψ2n(t−x)dx(2(n+m)2+1Γ(m2)Γ(n2))−1⋅∫t0(t−x)n4−1⋅xm2−1⋅exp(−(t−x−−−−√+x)/2)dxKmn(t):=(χm2∗ψn2)(t)=∫0tχm2(x)⋅ψn2(t−x)dx=(2(n+m)2+1Γ(m2)Γ(n2))−1⋅∫0t(t−x)n4−1⋅xm2−1⋅exp⁡(−(t−x+x)/2)dx\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m …
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MCMC的实际示例
我正在听一些与MCMC有关的讲座。但是，我找不到如何使用它的好例子。谁能给我一个具体的例子。我所看到的是它们运行着一个马尔可夫链，并说其平稳分布是所需的分布。 我想要一个很好的例子，其中难以从中获取所需的分布。因此，我们创建了一个马尔可夫链。我想知道如何选择过渡矩阵，以便其马尔可夫链的平稳分布成为目标分布
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