的分布是什么
我有四个独立的均匀分布的变量a,b,c,da,b,c,da,b,c,d中，每个在 [0,1][0,1][0,1]。我想计算(a−d)2+4bc(a−d)2+4bc(a-d)^2+4bc。我计算的分布u2=4bcu2=4bcu_2=4bc是（因此），并且的等于f2(u2)=−14lnu24f2(u2)=−14lnu24f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}u2∈(0,4]u2∈(0,4]u_2\in(0,4]u1=(a−d)2u1=(a−d)2u_1=(a-d)^2f1(u1)=1−u1−−√u1−−√.f1(u1)=1−u1u1.f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.现在，总和的分布为（也独立）因为。这里必须是因此积分等于现在我将其插入Mathematica并得到u1+u2u1+u2u_1+u_2u1,u2u1,u2u_1,\, u_2fu1+u2(x)=∫+∞−∞f1(x−y)f2(y)dy=−14∫401−x−y−−−−√x−y−−−−√⋅lny4dy,fu1+u2(x)=∫−∞+∞f1(x−y)f2(y)dy=−14∫041−x−yx−y⋅lny4dy,f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,y∈(0,4]y∈(0,4]y\in(0,4]x>yx>yx>yfu1+u2(x)=−14∫x01−x−y−−−−√x−y−−−−√⋅lny4dy.fu1+u2(x)=−14∫0x1−x−yx−y⋅lny4dy.f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.fu1+u2(x)=14[−x+xlnx4−2x−−√(−2+lnx)].fu1+u2(x)=14[−x+xlnx4−2x(−2+lnx)].f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right]. 我制作了四个独立的集合，每个集合分别由数字组成，并绘制了的直方图：a,b,c,da,b,c,da,b,c,d10610610^6(a−d)2+4bc(a−d)2+4bc(a-d)^2+4bc 并绘制了：fu1+u2(x)fu1+u2(x)f_{u_1+u_2}(x) 通常，该图与直方图相似，但在区间大部分为负（根在2.27034处）。正部分的积分。(0,5)(0,5)(0,5)≈0.77≈0.77\approx 0.77 哪里错了？或者我在哪里缺少什么？ 编辑：我缩放直方图以显示PDF。 编辑2：我想我知道推理的问题所在-集成限制。因为和，所以我不能简单地。该图显示了我必须集成的区域：y∈(0,4]y∈(0,4]y\in (0,4]x−y∈(0,1]x−y∈(0,1]x-y\in(0,1]∫x0∫0x\int_0^x 这意味着我有为（这就是为什么我的一部分是正确的），中和 in。不幸的是，Mathematica无法计算后两个积分（嗯，它的确计算了第二个积分，因为输出中有一个虚构的单位会破坏一切... ）。 Ý ∈ （0 ，1 ] ˚F ∫ X X - 1个 Ÿ ∈ （1 ，4 ] ∫ 4 X - 1 Ÿ ∈ （4 ，5 ]∫x0∫0x\int_0^xy∈(0,1]y∈(0,1]y\in(0,1]fff∫xx−1∫x−1x\int_{x-1}^xy∈(1,4]y∈(1,4]y\in(1,4]∫4x−1∫x−14\int_{x-1}^4y∈(4,5]y∈(4,5]y\in (4,5] 编辑3：看来Mathematica可以使用以下代码计算最后三个积分： (1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 …