计算机科学

为学生，研究人员和计算机科学从业者提供的问答

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一个高效的数据结构，支持Insert，Delete和MostFrequent
假设我们有一组DDD和的每个成员DDD是数据和密钥对。我们需要一个支持以下操作的数据结构： 将(d,k)(d,k)(d,k)插入DDD， 删除成员eee，（无需搜索以找到eee，例如eee指向的成员DDD）， MostFrequent，它返回一个构件e∈De∈De \in D使得e.keye.keye.key是最常用的键之一DDD（请注意，最常用的键不需要唯一）。 什么是该数据结构的有效实现？ 我的解决方案是为键及其频率按频率分配优先级的堆，再加上一个哈希表，在哈希表中，哈希函数将具有相同键的成员映射到哈希表中的同一插槽（指针从每个部分指向另一个部分）。 这可以使Θ(lgn)Θ(lg⁡n)\Theta(\lg n)对于前两个操作和Θ(1)Θ(1)\Theta(1)用于第三（最坏情况的运行时间）。 我想知道是否有更有效的解决方案？（或具有相同效率的更简单解决方案？）
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有关并行计算和NC类的一些问题
关于这两个主题，我有很多相关问题。 首先，大多数复杂文本仅覆盖。有没有很好的资源可以更深入地涵盖研究？例如，下面讨论我所有问题的内容。另外，我假设由于与并行化的联系仍然有大量研究，但我可能是错的。复杂性动物园中的部分并没有太大帮助。NCNC\mathbb{NC}NCNC\mathbb{NC} 其次，如果我们假设半组运算需要恒定的时间，则在半组上的计算将在进行。但是，如果运算不占用固定时间（无界整数就是这种情况）怎么办？是否存在任何已知的问题？NC1NC1\mathbb{NC}^1NCiNCi\mathbb{NC}^i 第三，由于，是否有一种算法可以将任何logspace算法转换为并行版本？L⊆NC2L⊆NC2\mathbb{L} \subseteq \mathbb{NC}^2 第四，听起来大多数人都以相同的方式假设。这背后的直觉是什么？NC≠PNC≠P\mathbb{NC} \ne \mathbb{P}P≠NPP≠NP\mathbb{P} \ne \mathbb{NP} 第五，我读过的每一篇文章都提到了但没有给出其中所包含问题的示例。有吗RNCRNC\mathbb{RNC} 最后，该答案提到了存在亚线性并行执行时间的问题。这些问题有哪些例子？是否还有其他复杂性类包含未知的并行算法？PP\mathbb{P}NCNC\mathbb{NC}
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计算反转对
分而治之的经典应用是解决以下问题： 给定不同的可比较元素的数组，计算数组中的反转对的数量：对，使得和。a[1…n]a[1…n]a[1\dots n](i,j)(i,j)(i,j)a[i]>a[j]a[i]>a[j]a[i] \gt a[j]i<ji<ji \lt j 一种解决方法是进行合并排序，但还要计算子问题中反转对的数量。在合并步骤中，我们计算跨越（两个）子问题的反转对的数量，并将其添加到子问题的计数中。 虽然这很好，并且给出了时间算法，但是却弄乱了数组。O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n) 如果我们还有其他限制，即数组是只读的，则可以制作一个副本并处理该副本，或者使用其他数据结构（例如订单统计平衡二叉树）进行计数，两者都使用空间。Θ(n)Θ(n)\Theta(n) 当前的问题是在不影响运行时间的情况下尝试改善空间。即 是否存在时间算法来计算反转对的数量，该算法适用于只读数组并使用亚线性（即）空间？O(nlogn)O(nlog⁡n）O(n\log n)o(n)o(n)o(n) 假设一个成本均一的RAM模型，并且元素占用空间，并且它们之间的比较为。O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1) 参考会做，但是一个解释会更好:-) 我尝试在网上搜索，但找不到任何肯定/否定答案。我想这只是出于好奇。
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对于图灵机
我不知道以下语言在是怎么出现的。RR\mathrm R LM1={⟨M2⟩∣∣M2 is a TM, and L(M1)=L(M2), and |⟨M1⟩|>|⟨M2⟩|}LM1={⟨M2⟩|M2 is a TM, and L(M1)=L(M2), and |⟨M1⟩|>|⟨M2⟩|}L_{M_1}=\Bigl\{\langle M_2\rangle \;\Big|\;\; M_2 \text{ is a TM, and } L(M_1)=L(M_2), \text{ and } |\langle M_1\rangle| > | \langle M_2 \rangle| \Bigr\} （我知道它在因为这个选择题有答案，但没有解释）。RR\mathrm R 我马上想到了 ，因为我们知道，如果检查两台机器接受同样的语言确实是不可判定，我来想：是不是立竿见影“假”，但它不可能是因为有很多图灵机接受相同的答案并使用不同的编码。LM1∉co-RE∪RELM1∉co-RE∪REL_{M_1} \notin \textrm{co-RE} \cup \textrm{RE} 谢谢！
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每个线性时间算法都是流算法吗？
在关于反计数的这个问题上，我发现了一篇论文，证明了所有（精确）流算法的空间复杂度下限。我声称这个界限扩展到了所有线性时间算法。通常来说，线性时间算法可以随意跳动（随机访问），而流式算法则不能随意跳动；它必须按顺序调查元素。我可以执行多次，但只能连续多次（对于线性运行时）。 因此我的问题是： 是否可以将每个线性时间算法表示为不断通过的流算法？ 随机访问似乎阻止了（简单的）构造证明是肯定的答案，但是我也未能提出反例。 根据机器型号，在运行时，随机访问甚至可能不是问题。我会对这些模型的答案感兴趣： 图灵机，平面输入 RAM，作为​​数组输入 RAM，作为​​链接列表输入
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是否可以确定TM是否到达磁带上的某个位置？
我想解决旧考试中的这些问题。对于每个问题，输入都是某个图灵机的编码MMM。 对于的整数，以及以下三个问题：c>1c>1c>1 确实，对于每个输入，M 在运行时都不会通过位置吗？xxx|x|+c|x|+c|x|+cxxx 这是真的，对于每个输入，男不传上运行时，位置？xxxmax{|x|−c,1}max{|x|−c,1}\max \{|x|-c,1 \}xxx 确实，对于每个输入xxx，当在x上运行时M都不会经过(|x|+1)/c(|x|+1)/c(|x|+1)/c位置吗？xxx 有多少问题是可以决定的？ 我认为问题编号（1）位于coRE∖RcoRE∖R\text {coRE} \smallsetminus \text R如果我理解正确的话），因为我可以并行运行所有输入，并且如果某些输入到达此位置并停止显示，则可以停止输入在RR\text R我可以减少Atm的补余。我按如下方式构造图灵机M′M′M'：对于输入yyy我检查yyy是否是计算历史，如果是，则M′M′M'运行正确并且不停止，如果不停止，则停止。 对于（3），我认为这是可以确定的，因为对于c \ geqslant 2c⩾2c⩾2c \geqslant 2，所有图灵机始终位于条带的第一个单元上，因为对于一个字符的字符串，它可以通过第一个单元，所以我需要为|Q|+1|Q|+1|Q|+1步模拟所有长度为1的字符串（这是正确的吗？），并查看我是否在所有它们中仅使用第一个单元格。 我真的不知道该怎么办（2）。
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何时获得“从左到右扫描，最右派生”的含义？
根据Wikipedia的文章，的L 表示“从左到右扫描”，“ R”表示“最右派生”。但是，在Knuth关于语法的原始论文中，他将（在第610页）定义为一种语言，该语言“可以从左向右翻译为边界。L R （k ）大号[R（ķ）LR(k)L R （k ）大号[R（ķ）LR(k)L R （k ）大号[R（ķ）LR(k)ķķk 我猜想是选择了这种新术语来补充解析的“从左到右扫描，最左派生”。也就是说，我不知道该术语何时更改了含义。L L （k ）大号大号（ķ）LL(k) 有谁知道的新缩写来自哪里？L R （k ）大号[R（ķ）LR(k)
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气泡排序中的预期交换次数
给定一个由整数组成的数组，可以以一定的概率，将数组中的每个元素增加固定数量。我必须找到使用气泡排序对数组进行排序所需的交换次数。一种一种AññNbbbp [ i ]p[一世]p[i]0 ≤ 我&lt; Ñ0≤一世&lt;ñ0 \leq i < n 我尝试了以下方法： 一个元素的概率用于可以很容易地从给定的概率来计算。A [ i ] &gt; A [ j ]一种[一世]&gt;一种[Ĵ]A[i] > A[j]我&lt; j一世&lt;Ĵi < j 使用上述方法，我计算出了预期的交换次数为： double ans = 0.0; for ( int i = 0; i &lt; N-1; i++ ){ for ( int j = i+1; j &lt; …
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缺少元素问题的时空权衡
这是一个众所周知的问题。 给定正整数数组A[1…n]A[1…n]A[1\dots n]，输出不在数组中的最小正整数。 该问题可以在空间和时间中解决：读取数组，在空间中跟踪是否发生，扫描最小的元素。O(n)O(n)O(n)O(n)O(n)O(n)1,2,…,n+11,2,…,n+11,2,\dots,n+1 我注意到您可以为时间交换空间。如果仅具有内存，则可以进行轮操作，并获得时间。在特殊情况下，显然存在恒定空间二次时间算法。O(nk)O(nk)O(\frac{n}{k})kkkO(kn)O(kn)O(k n) 我的问题是： 这是最佳的折衷方案，即吗？一般来说，如何证明这种界限？time⋅space=Ω(n2)time⋅space=Ω(n2)\operatorname{time} \cdot \operatorname{space} = \Omega(n^2) 假设RAM模型具有有限算法，并且可以随机访问O（1）中的数组。 这个问题的启示：在单带模型中回文的时空折衷（例如，请参见此处）。
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覆盖问题（发送方和接收方）
我尝试解决以下覆盖问题。 有发射器，覆盖范围为1km，接收器。在确定所有接收器都被任何发送器覆盖。所有接收器和发送器均由其和坐标表示。nnnnnnO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)xxxyyy 我可以使用的最先进的解决方案采用。对于每个接收器，请按与当前接收器的距离对所有发送器进行排序，然后选择距离最短的发送器，并且该最短距离应在0.5 km之内。O(n2logn)O(n2log⁡n)O(n^2\log n) 但是天真的方法看起来在时间复杂度要好得多。只需计算所有成对的发射器和接收器之间的所有距离。O(n2)O(n2)O(n^2) 我不确定是否可以在此问题中应用范围搜索算法。例如，kd-trees使我们能够找到这样的范围，但是我从未见过示例，并且不确定是否存在用于圆的范围搜索。 给定的复杂度假设解决方案应在某种程度上类似于排序。O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)
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是否每个NP问题都有一个多尺寸的ILP公式？
由于整数线性规划是NP完全的，因此从NP中的任何问题到它的Karp降低都可以。我认为这暗示着对于NP中的任何问题总是有多项式大小的ILP公式。 但是我看过有关特定NP问题的论文，人们写着“这是第一个多尺寸公式”或“没有已知的多尺寸公式”之类的东西。这就是为什么我感到困惑。
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