Questions tagged «pr.probability»

概率论中的问题

2
独立指数随机变量的总和
我们可以证明在独立指数随机变量的总和上有一个尖锐的集中结果是独立随机变量，使得。令。我们可以证明形式为。如果我们使用chernoff边界的方差形式，那么这将直接遵循，因此我相信这是正确的，但是我读取的边界需要有界或对变量的有界有一定的依赖性。有人可以指出以上证明吗？ P - [R （X 我 &lt; X ）= 1 - ë - X / λ 我X1,…XrX1,…XrX_1, \ldots X_rPr(Xi&lt;x)=1−e−x/λiPr(Xi&lt;x)=1−e−x/λiPr(X_i < x) = 1 - e^{-x/\lambda_i}Z=∑XiZ=∑XiZ = \sum X_iPr(|Z−μZ|&gt;t)&lt;e−t2/∑(λi)2Pr(|Z−μZ|&gt;t)&lt;e−t2/∑(λi)2Pr(|Z-\mu_Z|>t) < e^{-t^2/\sum (\lambda_i)^2}
1
使用图拉普拉斯（逆）协方差从多元高斯抽样
我们从例如Koutis-Miller-Peng（基于Spielman＆Teng的工作）知道，我们可以非常快速地求解矩阵A的线性系统Ax=bAx=bA x = b，这是一些具有非负边权重的稀疏图的图拉普拉斯矩阵。AAA 现在（第一个问题）考虑使用这些图拉普拉斯矩阵AAA中的一个作为零均值多元正态分布或的协方差或（第二个问题）逆协方差矩阵。。对于每种情况，我有两个问题：N(0,A)N(0,A)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A)N(0,A−1)N(0,A−1)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A^{-1}) 答：我们如何有效地从这种分布中抽取样本？（通常为绘制样本，我们计算Cholesky分解，绘制标准法线，然后将样本计算为）。A=LLTA=LLTA = LL^Ty∼N(0,I)y∼N(0,I)y \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, I)x=L−1yx=L−1yx = L^{-1} y B.我们如何有效地计算的行列式？AAA 请注意，通过Cholesky分解可以很容易地解决这两个问题，但是我没有立即看到如何比仅使用标准稀疏Cholesky算法更有效地提取，该算法不会使用上述参考文献中介绍的技术工作，并且对于稀疏但高树宽图将具有三次复杂度。LLL
1
Borel-Cantelli引理和非随机化
我正在阅读一篇题为“ （无）可编程随机Oracle”的论文。2.3节的最后一段为： [使用我们的新颖方法]无需应用 基于Borel-Cantelli引理的众所周知的经典渐近（和均匀）去随机化技术。据我们所知，这种方法对本文来说是新颖的。 我查看了Wikipedia的Borel–Cantelli引理条目，并几乎掌握了这个主意。但是，我仍然不知道它与去随机化有何关系。另外，我不理解上述段落中“渐近”和“均匀”的含义。 PS：对Borel-Cantelli进行谷歌搜索和去随机化将显示一些有趣的结果，但是我没有足够的背景来很好地理解它们。
3
是否有任何已知的CCC在概率功率域操作下关闭？
等效地，是否存在已知的概率高阶函数编程语言的指称语义？具体而言，是否存在通过对称随机二元选择运算扩展的纯无类型演算的域模型。λλ\lambda 动机 笛卡尔封闭类别为高阶计算提供了语义。概率功率域为随机程序提供语义。在概率功率域操作下关闭的CCC将为随机的高阶函数编程语言提供语义。λλ\lambda 相关工作 Tix，Keimel和Plotkin（2004）[1]给出了下，上和凸幂域运算的现代结构，但请注意 是否存在在概率幂域的构造下闭合的连续域的笛卡尔闭合类别仍然是一个未解决的问题。 Mislove（2013）[2,3]以一阶语言给出了连续随机变量的语义，但指出 即使概率幂域使有向完整姿态集（简称dcpos）和Scott连续映射的CCC不变，也没有笛卡尔封闭域域-满足通常逼近假设的dcpos-在以下情况下已知不变这个构造。众所周知，在概率选择单子[4]下，相干域的类别是不变的，但该类别不是笛卡尔封闭的。 参考文献 里贾纳·泰克斯（Regina Tix），克劳斯·凯米尔（Klaus Keimel）和戈登·普洛特金（Gordon Plotkin）（2004年） “将概率和非确定性相结合的语义领域”。 Michael Mislove（2013） “连续随机变量I的域的剖析” Michael Mislove（2013） “连续随机变量II域的剖析” Jung，A。和R. Tix（1998） “麻烦的概率幂域”
4
构造要比随机构造好。
我对复杂性理论中比随机构造更好的构造示例感兴趣。 我知道的这种结构的唯一一个例子是纠错码领域。在某些参数范围内，代数几何代码比随机代码更好。 可以很容易地构建这样的人工实例。我对像代数几何代码这样的示例很感兴趣，在该示例中，很容易进行随机构造，而且如何做得更好也并不明显。
2
均匀硬币和有偏硬币之间的统计距离
让 UUU 均匀分布在 nnn 位，让 DDD 被分配 nnn 位是独立的，每个位是 111 很有可能 1/2−ϵ1/2−ϵ1/2-\epsilon。两者之间的统计距离是否正确DDD 和 UUU 是 Ω(ϵn−−√)Ω(ϵn)\Omega(\epsilon \sqrt{n})， 什么时候 n≤1/ϵ2n≤1/ϵ2n \le 1/\epsilon^2？
2
多次尝试猜测低熵值
假设Alice 在有限（但可能非常大）的域上具有分布，使得的（香农）熵由任意小的常数上限。爱丽丝从得出一个值，然后让Bob（知道）猜出。μμ\muμμ\muεε\varepsilonxxxμμ\muμμ\muxxx Bob的成功几率是多少？如果只允许他一个猜测，则可以按如下方式将该概率下界：熵将最小熵上界，因此存在一个元素的概率至少为。如果Bob选择此元素作为其猜测，则他的成功概率将为。2−ε2−ε2^{-\varepsilon}2−ε2−ε2^{-\varepsilon} 现在，假设鲍勃被允许做出多个猜测，比如说猜测，如果他的一个猜测是正确的，则鲍勃获胜。有没有可以提高鲍勃成功概率的猜测方案？特别是，是否有可能表明Bob的故障概率随呈指数下降？tttttt
2
没有低概率坐标的高概率事件
让 XXX 是一个随机变量，值取 ΣnΣn\Sigma^n （对于一些大字母 ΣΣ\Sigma），它具有很高的熵-例如， H(X)≥(n−δ)⋅log|Σ|H(X)≥(n−δ)⋅log⁡|Σ|H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma| 对于一个任意小的常数 δδ\delta。让E⊆Supp(X)E⊆Supp(X)E \subseteq \rm{Supp}(X) 在…的支持下成为一个事件 XXX 这样 Pr[X∈E]≥1−εPr[X∈E]≥1−ε\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon，其中是任意小的常数。εε\varepsilon 我们说，一对是一个低概率坐标的如果。我们说一个字符串含有的低概率坐标如果是一个低概率的坐标一些。(i,σ)(i,σ)(i,\sigma)EEEPr[X∈E|Xi=σ]≤εPr[X∈E|Xi=σ]≤ε\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilonx∈Σnx∈Σnx \in \Sigma^n EEE(i,xi)(i,xi)(i, x_i)EEEiii 一般情况下，在某些字符串可能含有的低概率坐标。现在的问题是，我们总能找到一个大概率事件使得没有字符串包含的概率很低坐标（而不是）。EEEEEEE′⊆EE′⊆EE' \subseteq EE′E′E'E′E′E'EEE 谢谢！
1
覆盖时间和频谱间隙可逆的随机游走
我正在寻找一个类似这样的定理：如果可逆马尔可夫链的覆盖时间很小，那么光谱间隙就很大。这里的光谱间隙意味着1−|λ2|1−|λ2|1-|\lambda_2|，也就是说，我们忽略了链的最小特征值。 我只能从FOCS 88的Broder和Karlin 的Cover Time上找到这个方向的唯一结果。假定链的过渡矩阵是双重随机的（但不一定是可逆的）并且是非周期性的。粗略地说，该论文表明，在这些假设下，如果覆盖时间为，则至少为n ^ {-1}。O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)1−max(|λ2|,|λn|)1−max(|λ2|,|λn|)1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)n−1n−1n^{-1} 直观地，如果您可以快速覆盖图形的所有顶点，则混合时间应该很小，这似乎是非常合理的。特别是，如果您可以在n2n2n^2时间内覆盖图形的所有顶点，那么您当然应该能够排除n ^ {-1000}的谱隙n−1000n−1000n^{-1000}。 可能会破坏小覆盖时间和大光谱间隙之间的关系的一个可能障碍是二分性：在二分图中，您可以使用特征值为-1的小覆盖时间−1−1-1。在我的问题中，我忽略了最小的特征值，从而绕过了这个问题。
3
有关随机游走的技术问题
（我的原始问题仍未得到解答。我添加了进一步的说明。） 通过将随机游走视为马尔可夫链来分析随机游走（在无向图上）时，我们要求图是非二分图的，以便应用马尔可夫链的基本定理。 如果该图会发生什么 GGG而是二分的？我对打发时间特别感兴趣H我，Ĵhi,jh_{i,j}，之间有一条边 一世ii 和 Ĵjj 在 GGG。说二部图GGG 已 米mm边缘。我们可以向图中的任意顶点添加自环，以生成结果图G′G′G'非二分 将马尔可夫链的基本定理应用于G′G′G' 然后我们得到 hi,j&lt;2m+1hi,j&lt;2m+1h_{i,j} < 2m+1 在 G′G′G'，这显然也是 hi,jhi,jh_{i,j} 在 GGG。 问题：更强的主张是真的吗 hi,j&lt;2mhi,j&lt;2mh_{i,j} < 2m 持有 GGG？（在2SAT的随机游走算法分析中已经看到了这一点。）还是我们真的必须经历添加自环的额外步骤？
2
具有3个结果的随机变量的Chernoff型不等式
假设我们有一个随机变量，该变量采用非数字值a，b，c，并希望量化 nnn此变量的样本偏离真实分布。在这种情况下，以下不等式（来自Cover和Thomas）适用。 定理12.4.1（萨诺夫定理）： X1,X2,…,XnX1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n 闲逛 ∼Q(x)∼Q(x)\sim Q(x)。 让E⊆PE⊆PE \subseteq \mathscr{P}是一组概率分布。然后 Qn(E)=Qn(E∩Pn)≤(n+1)|X|2−nD(P∗||Q),Qn(E)=Qn(E∩Pn)≤(n+1)|X|2−nD(P∗||Q),Q^n(E) = Q^n(E \cap \mathscr{P}_n) \leq (n+1)^{|\mathcal{X}|}2^{-nD(P^*||Q)}, 哪里 P∗=argminP∈ED(P||Q),P∗=arg⁡minP∈ED(P||Q),P^* = \arg\min_{P \in E} D(P||Q), 是相对熵中最接近中的分布。EEEQQQ 对于小这个不等式相当宽松。对于二进制结果，，并且Chernoff-Hoeffding边界要严格得多。nnn|X|=2|X|=2|\mathcal{X}|=2 是否有类似的严格限制？|X|=3|X|=3|\mathcal{X}|=3
By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy and Privacy Policy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.