1
对流扩散方程使用诺伊曼边界条件时的物理量守恒
当我应用不同的边界条件时，我不理解对流扩散方程的不同行为。我的动机是模拟在扩散和对流作用下的实际物理量（粒子密度）。除非从边缘流出颗粒密度，否则内部应保持颗粒密度。按照这种逻辑，如果我强制执行Neumann边界条件，则系统的两端，例如（在左侧和右侧），则系统应“封闭”，即如果边界处的通量为零，则没有粒子可以逸出。∂ϕ∂x=0∂ϕ∂x=0\frac{\partial \phi}{\partial x}=0 对于以下所有模拟，我已将Crank-Nicolson离散化应用于对流扩散方程，所有模拟都具有边界条件。但是，对于矩阵的第一行和最后一行（边界条件行），我允许独立于内部值进行更改。这允许端点完全隐式。∂ϕ∂x=0∂ϕ∂x=0\frac{\partial \phi}{\partial x}=0ββ\beta 下面我讨论4种不同的配置，只有一种是我所期望的。最后，我讨论了我的实现。 仅扩散限制 在此，通过将速度设置为零来关闭对流项。 仅扩散，所有点均为ββ\boldsymbol{\beta} = 0.5（Crank-Niscolson） 如脉冲面积减小所见，该量不守恒。 仅扩散，在内点处 = 0.5（Crank-Niscolson），边界处 = 1（完全隐式）βββ\boldsymbol{\beta}ββ\boldsymbol{\beta} 通过在边界上使用完全隐式方程，可以实现我所期望的：没有粒子逸出。您可以通过保留粒子扩散的区域来看到这一点。为什么在边界点选择影响情况的物理性？这是错误还是预期的？ββ\beta 扩散和平流 当包括对流项时，边界处的值似乎不会影响解。但是，对于所有情况，当边界似乎是“开放的”时，即粒子可以逃脱边界。为什么会这样呢？ββ\beta 在所有点上具有 = 0.5（Crank-Niscolson）的对流和扩散ββ\boldsymbol{\beta} 对流和扩散，在内点处 = 0.5（Crank-Niscolson），边界处 = 1（完全隐式）βββ\boldsymbol{\beta}ββ\boldsymbol{\beta} 对流扩散方程的实现 从对流扩散方程开始， ∂ϕ∂t=D∂2ϕ∂x2+v∂ϕ∂x∂ϕ∂t=D∂2ϕ∂x2+v∂ϕ∂x \frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x} 使用Crank-Nicolson进行写作， ϕn+1j−ϕnjΔt=D[1−β(Δx)2(ϕnj−1−2ϕnj+ϕnj+1)+β(Δx)2(ϕn+1j−1−2ϕn+1j+ϕn+1j+1)]+v[1−β2Δx(ϕnj+1−ϕnj−1)+β2Δx(ϕn+1j+1−ϕn+1j−1)]ϕjn+1−ϕjnΔt=D[1−β(Δx)2(ϕj−1n−2ϕjn+ϕj+1n)+β(Δx)2(ϕj−1n+1−2ϕjn+1+ϕj+1n+1)]+v[1−β2Δx(ϕj+1n−ϕj−1n)+β2Δx(ϕj+1n+1−ϕj−1n+1)] \frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = …