联合MGF独立的充要条件
假设我有一个联合矩生成函数用于CDF的联合分布。是两个必要的和足够的用于独立条件和？我检查了几本教科书，只提到了必要性：MX,Y(s,t)MX,Y(s,t)M_{X,Y}(s,t)FX,Y(x,y)FX,Y(x,y)F_{X,Y}(x,y)MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)XXXYYY FX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y)⟹MX,Y(s,t)=MX(s)⋅MY(t)FX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y)⟹MX,Y(s,t)=MX(s)⋅MY(t)F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t) 该结果很明显，因为独立性意味着。由于边际的MGF由联合MGF决定，我们具有：MX,Y(s,t)=E(esX+tY)=E(esX)E(etY)MX,Y(s,t)=E(esX+tY)=E(esX)E(etY)M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY}) X,Y independent⟹MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)X,Y independent⟹MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t) 但是在网上搜索后，我发现相反的情况只是短暂的参考，没有证据。以下草图证明可行吗？ 给定联合MGF，这唯一地确定和及其MGF 的边际分布， 和。仅边际与许多其他可能的联合分布兼容，并且唯一地确定和独立的联合分布，其中CDF和MGF：MX,Y(s,t)MX,Y(s,t)M_{X,Y}(s,t)XXXYYYMX(s)=MX,Y(s,0)MX(s)=MX,Y(s,0)M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)MY(t)=MX,Y(0,t)MY(t)=MX,Y(0,t)M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)XXXYYYFindX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y)FX,Yind(x,y)=FX(x)⋅FY(y)F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y) MindX,Y(s,t)=MX(s)⋅MY(t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)MX,Yind(s,t)=MX(s)⋅MY(t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t) 因此，如果我们得到原始MGF的，则为足以显示。然后根据MGF的唯一性，我们原始的联合分布为和和是独立的。MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)MX,Y(s,t)=MindX,Y(s,t)MX,Y(s,t)=MX,Yind(s,t)M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)FX,Y(x,y)=FindX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y)FX,Y(x,y)=FX,Yind(x,y)=FX(x)⋅FY(y)F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)XXXYYY