Questions tagged «asymptotics»

关于渐近符号和分析的问题

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求解或近似数字序列的递归关系
在计算机科学中，我们经常必须解决递归关系，即为递归定义的数字序列找到闭合形式。在考虑运行时时，我们通常主要对序列的渐近增长感兴趣。 例子是 尾递归函数的运行时间从向下逐步降为，的身体花费时间：000nnnf(n)f(n)f(n) T(0)T(n+1)=0=T(n)+f(n)T(0)=0T(n+1)=T(n)+f(n)\qquad \begin{align} T(0) &= 0 \\ T(n+1) &= T(n) + f(n) \end{align} 的斐波那契序列： F0F1Fn+2=0=1=Fn+Fn+1F0=0F1=1Fn+2=Fn+Fn+1\qquad \begin{align} F_0 &= 0 \\ F_1 &= 1 \\ F_{n+2} &= F_n + F_{n+1} \end{align} 具有括号对的Dyck单词数：nnn C0Cn+1=1=∑i=0nCiCn−iC0=1Cn+1=∑i=0nCiCn−i\qquad\begin{align} C_0 &= 1 \\ C_{n+1}&=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i} \end{align} mergesort运行时重复出现在长度为列表上：nnn T(1)T(n)=T(0)=0=T(⌊n/2⌋)+T(⌈n/2⌉)+n−1T(1)=T(0)=0T(n)=T(⌊n/2⌋)+T(⌈n/2⌉)+n−1\qquad \begin{align} T(1) &= T(0) = 0 \\ T(n) …
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随着问题的增加，是否有任何变得容易的问题？
这可能是一个荒谬的问题，但是随着输入量的增加，是否有可能实际上变得更容易解决的问题？我怀疑是否存在任何实际问题，但是也许我们可以发明具有这种性质的退化问题。例如，当它变大时，它可能开始“自我解决”，或者表现为其他怪异的方式。
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在最坏的情况下，这种分类算法是Θ（n³）而不是Θ（n²）。
我刚开始学习数据结构和算法课程，我的助教为我们提供了以下用于对整数数组进行排序的伪代码： void F3() { for (int i = 1; i < n; i++) { if (A[i-1] > A[i]) { swap(i-1, i) i = 0 } } } 可能还不清楚，但是这里是我们要排序的数组的大小。nnnA 无论如何，助教都会向全班解释该算法的时间是（我认为是最坏的情况），但是无论我用反向排列的数组遍历多少次，在我看来，它应该是而不是。Θ （n 2）Θ （n 3）Θ(n3)Θ(n3)\Theta(n^3)Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n3)Θ(n3)\Theta(n^3) 有人可以向我解释为什么这是Θ(n3)Θ(n3)Θ(n^3)而不是Θ(n2)Θ(n2)Θ(n^2)吗？
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O（·）不是一个函数，那么一个函数如何等于它呢？
我完全理解大ØOO符号的含义。我的问题是，当我们说Ť（n ）= O （f（n ））T(n)=O(f(n))T(n)=O(f(n))，其中Ť（n ）T(n)T(n)是大小为ñnn输入上算法的运行时间。 我了解它的语义。但是Ť（n ）T(n)T(n)和Ø （˚F（n ））O(f(n))O(f(n))是两回事。 Ť（n ）T(n)T(n)是一个精确的数字，但是Ø （˚F（n ））O(f(n))O(f(n))不是一个产生数字的函数，因此从技术上讲我们不能说Ť（n ）T(n)T(n) 等于 Ø （˚F（n ））O(f(n))O(f(n))。您 O （f （n （）））的值是多少，答案是什么？没有答案。Ø （˚F（n ））O(f(n))O(f(n))
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是什么意思？
这是一个基本问题，但是我认为与，因为在我们趋于无穷大时，较大的项应该起主导作用？同样，这将不同于O（\ min（m，n））。那正确吗？我一直看到这种表示法，尤其是在讨论图形算法时。例如，您通常会看到：O（| V | + | E |）（例如，参见此处）。O(m+n)O(m+n)O(m+n)O(max(m,n))O(max(m,n))O(\max(m,n))O(min(m,n))O(min(m,n))O(\min(m,n))O(|V|+|E|)O(|V|+|E|)O(|V| + |E|)
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O（n log n）描述的函数类的名称是什么？
在“ Big O”中，通用符号具有通用名称（而不是说“某些常数的哦”）： O（1）为“常数” O（log n）是“对数” O（n）是“线性” O（n ^ 2）是“二次方” O（n * log n）是??? 它只是“ n log n”还是像上面这样的特殊名称？
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按渐近增长对函数进行排序
假设我有一个功能列表，例如 nloglog(n),2n,n!,n3,nlnn,…nlog⁡log⁡(n),2n,n!,n3,nln⁡n,…\qquad n^{\log \log(n)}, 2^n, n!, n^3, n \ln n, \dots 如何渐近地对它们进行排序，即在由 f≤Og⟺f∈O(g)f≤Og⟺f∈O(g)\qquad f \leq_O g \iff f \in O(g)， 假设它们确实是成对可比的（另请参见此处）？使用的定义似乎很尴尬，并且通常很难证明合适的常数和的存在。Ç Ñ 0OOOcccn0n0n_0 这是关于复杂度的量度，因此我们对渐进行为感兴趣，并且我们假定所有函数仅采用非负值（）。＆ForAll; Ñ ，˚F （Ñ ）≥ 0n→+∞n→+∞n \to +\infty∀n,f(n)≥0∀n,f(n)≥0\forall n, f(n) \ge 0
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天真的改组在渐近性上有多糟糕？
众所周知，这种“天真的”算法通过将每个项目与另一个随机选择的项目交换来改组数组，无法正常工作： for (i=0..n-1) swap(A[i], A[random(n)]); 具体来说，由于在次迭代中的每一次迭代中，都会做出选择之一（概率均等），因此通过计算存在可能的“路径”。因为可能的排列数为不能均匀地将路径数目划分为，该算法不可能产生路径中的每一个等概率排列。（相反，应该使用所谓的Fischer-Yates随机播放，这实际上改变了从[0..n]中选择随机数的调用与从[i..n]中选择随机数的调用；不过，这很无聊。）n nnn nnn nnnn^n n ！n!n!n nnnn^n n ！n!n! 我想知道的是，天真洗牌有多“糟糕”？更具体地说，令为所有置换的集合，令为通过朴素算法生成的最终置换的路径数，则的渐近行为是什么。功能P （Ñ ）P(n)P(n)Ç （ρ ）C(ρ)C(\rho)ρ ＆Element; P （Ñ ）ρ∈P(n)\rho\in P(n) M(n)=n!nnmaxρ∈P(n)C(ρ)M(n)=n!nnmaxρ∈P(n)C(ρ)\qquad \displaystyle M(n) = \frac{n!}{n^n}\max_{\rho\in P(n)} C(\rho) 和 m(n)=n!nnminρ∈P(n)C(ρ)m(n)=n!nnminρ∈P(n)C(ρ)\qquad \displaystyle m(n) = \frac{n!}{n^n}\min_{\rho\in P(n)} C(\rho)吗？ 首要因素是“标准化”这些值：如果幼稚的随机播放“渐近良好”，则 limn→∞M(n)=limn→∞m(n)=1limn→∞M(n)=limn→∞m(n)=1\qquad \displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n) = \lim_{n\to\infty}m(n) = 1。 我怀疑（基于我见过的一些计算机模拟）实际值的界线是1，但是甚至知道limM(n)limM(n)\lim M(n)是有限的，还是limm(n)limm(n)\lim m(n)是界线的呢？ …
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O和Ω与最坏情况和最佳情况有何关系？
今天，我们在一次讲座中讨论了一种非常简单的算法，该算法可使用二进制搜索在排序数组中查找元素。我们被要求确定元素数组的渐近复杂度。nnn 我的想法是，显然，或更具体，因为\ log_2 n是最坏情况下的操作数。但是我可以做得更好，例如，如果我第一次点击搜索到的元素-那么下界是\ Omega（1）。O(logn)O(log⁡n)O(\log n)O(log2n)O(log2⁡n)O(\log_2 n)log2nlog2⁡n\log_2 nΩ(1)Ω(1)\Omega(1) 讲师将解决方案表示为Θ(logn)Θ(log⁡n)\Theta(\log n)因为我们通常只考虑算法的最坏情况输入。 但是，仅考虑最坏的情况时，如果给定问题的所有最坏情况具有相同的复杂度（\ Theta是我们所需要的，对吗？），用OOO和ΩΩ\Omega意义何在？ΘΘ\Theta 我在这里想念什么？
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为什么C的void类型不同于Empty / Bottom类型？
维基百科以及我发现的其他来源都将C的void类型列为单位类型，而不是空类型。我觉得这很混乱，因为在我看来，它void更适合于空/底类型的定义。 void据我所知，没有价值观存在。 返回类型为void的函数指定该函数不返回任何内容，因此只能执行某些副作用。 类型的指针void*是所有其他指针类型的子类型。同样，void*在C中进行来回转换是隐式的。 我不确定最后一点是否可以作为void空类型的参数，void*或多或少是与无关的特例void。 另一方面，void它本身不是所有其他类型的子类型，据我所知，这是将类型作为底部类型的要求。
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给定长度的常规语言中单词数量的渐近性
对于常规语言，令为长度为中的单词。使用约旦规范形式（应用于的某些DFA的无注释转换矩阵），可以证明对于足够大的， 其中是复数多项式，是复数“特征值”。（对于小，我们可能具有形式的附加项，其中如果且为且Ç Ñ（大号）大号ñ 大号Ñ Ç Ñ（大号）= ķ Σ我= 1个 P 我（Ñ ）λ Ñ 我，P 我λ 我 Ñ Ç ķ [ Ñ = ķ ] [ Ñ = ķ ] 1 ñ = ķ 0大号LLCñ（大号）cn(L)c_n(L)大号LLñnn大号LLñnnCñ（L ）= ∑我= 1ķP一世（n ）λñ一世，cn(L)=∑i=1kPi(n)λin, c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n, P一世PiP_iλ一世λi\lambda_iñnnCķ[ n = k ]Ck[n=k]C_k[n=k][ n = …
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“对于较小的n值，可以将O（n）视为O（1）”
我已经听过好几次了，对于足够小的n值，可以将O（n）视为/视为O（1）。 范例： 这样做的动机是基于这样一个错误的观念：O（1）总是比O（lg n）更好，总是比O（n）更好。仅当在实际条件下问题的大小实际变大时，运算的渐近顺序才有意义。如果n保持很小，那么每个问题都是O（1）！ 什么足够小？10个？100？一千 您在什么时候说“我们不能再将其视为免费手术了”？有经验法则吗？ 这似乎可能是特定于域或特定于案例的，但是关于如何考虑这一点是否有一般的经验法则呢？
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具有在摊销时间内搜索，插入和删除的数据结构
是否有数据结构可维护在摊销时间内支持以下操作的有序列表？O(1)Ø（1个）O(1) GetElement（k）：返回列表的第个元素。kķk InsertAfter（x，y）：将新元素y插入x后面的列表中。 Delete（x）：从列表中删除x。 对于最后两个操作，您可以假定x是直接作为指向数据结构的指针而给出的。InsertElement返回y的相应指针。InsertAfter（NULL，y）在列表的开头插入y。 例如，从一个空的数据结构开始，以下操作将更新有序列表，如下所示： InsertAfter（NULL，a） ⟹⟹\implies [一种] InsertAfter（NULL，b） ⟹⟹\implies [b，a] InsertAfter（b，c） ⟹⟹\implies [b，c，a] InsertAfter（a，d） ⟹⟹\implies [b，c，a，d] 删除（c） ⟹⟹\implies [b，a，d] 在这五个更新之后，GetElement（2）应该返回d，而GetElement（3）应该返回一个错误。
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O（mn）被认为是“线性”或“二次”增长吗？
如果我有一个函数，其时间复杂度为O（mn），其中m和n是其两个输入的大小，我们将其时间复杂度称为“线性”（因为在m和n中均为线性）或“二次”（因为它是两种尺寸的产品）？或者是其他东西？ 我觉得称它为“线性”是令人困惑的，因为O（m + n）也是线性的，但速度要快得多，但是我觉得称其为“二次数”也是很奇怪的，因为它在每个变量中都是线性的。
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