Questions tagged «asymptotics»

关于渐近符号和分析的问题

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如何愚弄地块检验启发法？
在这里，戴夫·克拉克（Dave Clarke）提出，为了比较渐近增长，您应该画出手边的函数。作为理论上有偏见的计算机科学家，我称这个伏都教徒为阴谋，永远无法证明。再三考虑，我必须同意，这是一种非常有用的方法，有时甚至没有得到充分利用。情节是获得第一个想法的有效方法，有时这就是您所需要的。 在教授TCS时，总是有学生问：“如果我能做总是有效的X，我需要什么正式证明？” 由他的老师指出并说明谬论。有一组出色的示例示例，这些示例最终会在math.SE上进行故障转移，但这是相当数学的情况。 那么，您如何愚弄小区检验的启发式方法？在某些情况下，很难分辨出差异，例如 [ 来源 ] 进行猜测，然后检查实际功能的来源。但这并没有我所希望的那么壮观，特别是因为即使对于初学者，真正的关系也很容易从功能上发现。 是否存在（相对）渐近增长的示例，其中从函数定义中得出的真相并不明显，并且对较大图检验会给您一个完全错误的想法？都欢迎数学函数和实际数据集（例如，特定算法的运行时）；不过，请不要使用分段定义的函数。nnn
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最早使用渐近时间复杂度的计算机科学论文是什么？
大O是什么时候首次用于计算机科学的，什么时候成为标准的？维基百科页面引用了SIGACT 1976年4月至6月的Knuth，Big Omicron和Big Omega And Big Theta，但该论文的开头内容如下： 我们大多数人已经习惯了使用符号来表示所有大的幅度上限为常数函数的想法 。Ø （˚F（n ））O(f(n))O(f(n))F（n ）f(n)f(n)ñnn 此引号表示该想法和符号已经很普遍了。 Wikipedia页面还引用了1800年代末和1900年代初的数学论文，但这并不能完全回答问题。尤其是，我听说当时（大约在60年代和70年代，而不是1800年代末）的研究人员说，当首次使用渐近分析时，有人退缩了，说挂钟时间是一个更好的指标。但是，我从未与之交谈过的人引用过像这样的被推回的具体论文，我想找到可以证实或否认这些故事的证据。
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使用主定理时对假设
Master定理是解决某些递归问题的漂亮工具。但是，在应用时，我们经常会掩盖一个不可或缺的部分。例如，在对Mergesort进行分析时，我们很高兴地从 T(n)=T(⌊n2⌋)+T(⌈n2⌉)+f(n)T(n)=T(⌊n2⌋)+T(⌈n2⌉)+f(n)\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n) 至 T′(n)=2T′(n2)+f(n)T′(n)=2T′(n2)+f(n)\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n) 仅考虑n=2kn=2kn=2^k。我们保证ourselved，这一步是有效的-那就是T∈Θ(T′)T∈Θ(T′)T \in \Theta(T') -因为TTT表现“很好”。通常，我们假设n=bkn=bkn=b^k对于bbb是公分母。 通过使用恶性，很容易构造不允许这种简化的重复fff。例如，以上针对T的重复TTT\,/T′T′\,T'与 f(n)={1n,n=2k,elsef(n)={1,n=2kn,else\qquad f(n) = \begin{cases} 1 &, n=2^k \\ n &, \text{else} \end{cases} 可以通过通常的方法使用Master定理得出Θ(n)Θ(n)\Theta(n)，但是显然有一个子序列会像一样增长Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n \log n)。参见此处，了解另一个更人为的示例。 我们怎样才能做到“严谨”呢？我很确定单调性就足够了，但是即使简单的Mergesort递归也不是单调的。有一个周期分量（渐近地占主导）。研究是否足够fff，并且在fff有什么必要和充分条件来确保Master定理有效？
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更改递归关系中的变量
此问题是从理论计算机科学堆栈交换迁移而来的，因为可以在计算机科学堆栈交换上回答。 迁移 7年前。 目前，我正在研究算法简介（CLRS），书中概述了一种解决递归关系的特定方法。 此示例可以说明以下方法。假设我们有复发 Ť（n ）= 2 吨（n--√）+ 日志ñT(n)=2T(n)+log⁡nT(n) = 2T(\sqrt n) + \log n 最初，他们进行替换m = lg（n），然后将其重新插入递归并获得： Ť（2米）= 2 吨（2米2）+ 米T(2m)=2T(2m2)+mT(2^m) = 2T(2^{\frac{m}{2}}) + m 到目前为止，我完全理解。下一步是使我感到困惑的步骤。 他们现在“重命名”递归并令，这显然会产生S （m ）= T （2 m）小号（米）S(m)S(m)小号（米）= T（2米）S(m)=T(2m)S(m) = T(2^m) 小号（m ）= 2 秒（米/ 2 ）+ 米S(m)=2S(m/2)+mS(m) = 2S(m/2) + m 出于某种原因，我不清楚这种重命名为何起作用，而且似乎只是作弊。谁能更好地解释这一点？
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构造两个满足
构造两个函数满足：F，g ^：R+→ R+f,g:R+→R+ f,g: R^+ → R^+ 是连续的；F，g ^f,gf, g 单调增加；F，g ^f,gf, g 和 g ≠ O （f ）。F≠ O （g）f≠O(g)f \ne O(g)G≠ O （f）g≠O(f)g \ne O(f)
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以√n为参数求解递归关系
考虑复发 T(n)=n−−√⋅T(n−−√)+cnT(n)=n⋅T(n)+cn\qquad\displaystyle T(n) = \sqrt{n} \cdot T\bigl(\sqrt{n}\bigr) + c\,n 对于n>2n>2n \gt 2且具有一些正常数，并且。T （2 ）= 1cccT(2)=1T(2)=1T(2) = 1 我知道用于解决递归的Master定理，但是我不确定如何使用它来解决这种关系。您如何计算平方根参数？
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渐近下界与密码学有关吗？
一般认为，诸如指数硬度之类的渐近下界表示问题“固有地困难”。“本来就很难”破解的加密被认为是安全的。 但是，渐近下界并不排除存在大量但有限类别的问题实例（例如，所有大小小于实例）容易的可能性。10100010100010^{1000} 有没有理由认为基于渐近下界的密码会赋予任何特定级别的安全性？安全专家会考虑这种可能性，还是只是将其忽略？ 一个例子是使用基于大量分解为其主要因素的活板门功能。曾经有人认为这是固有的困难（我认为指数是猜想），但现在许多人认为可能存在多项式算法（如素数测试一样）。似乎没有人非常在乎缺少指数下限。 我相信，已经提出了其他陷井门功能，这些功能被认为是NP困难的（请参阅相关问题），有些甚至可能具有较低的界限。我的问题更基本：渐近下界是什么？如果不是，那么任何密码的实际安全性是否与渐近复杂性完全相关？
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什么
什么意思吗？log O （1 ） nlogO(1)n\log^{O(1)}n 我知道big-O表示法，但是这种表示法对我来说毫无意义。我也找不到任何东西，因为搜索引擎也无法正确解释。 在上下文中，我发现它的句子为“ [...]，如果它使用空间并且最多使用则我们将其称为[efficiency]函数每件。”O （log n ）log O （1 ） nO(logn)O(\log n)logO(1)n\log^{O(1)}n
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为什么主定理中存在规则性条件？
我一直在阅读Cormen等人的算法简介。并且我正在阅读从第73页开始的Master定理的陈述。在情况3中，使用定理还需要满足一个正则条件： ... 3.如果 F（n ）= Ω （n日志ba + ε）F（ñ）=Ω（ñ日志b⁡一种+ε）\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon}) 对于一些恒定，如果ε &gt; 0ε&gt;0\varepsilon > 0 一个˚F（Ñ / b ）≤ Ç ˚F（n ）一种F（ñ/b）≤CF（ñ）\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n) [ 这是规律性条件 ] 对于某些常数以及对于所有足够大的，则..Ñc &lt; 1C&lt;1c < 1ññn 有人可以告诉我为什么需要规律性条件吗？如果不满足条件，定理将如何失败？
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函数是否总是渐近可比的？
当我们比较两种算法的复杂度时，通常是f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))f(n) = O(g(n))或g(n)=O(f(n))g(n)=O(f(n))g(n) = O(f(n))（可能两者）的情况，其中fff和ggg是两种算法的运行时间（例如）。 总是这样吗？也就是说，是否始终保持关系f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))f(n) = O(g(n))和中的至少一个g(n)=O(f(n))g(n)=O(f(n))g(n) = O(f(n))，即对于通用函数fff，ggg？如果不是，我们必须做出哪些假设？（为什么）我们谈论算法的运行时间？
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求解包含两个递归调用的递归方程
我试图为以下递归方程找到一个约束：ΘΘ\Theta T(n)=2T(n/2)+T(n/3)+2n2+5n+42T(n)=2T(n/2)+T(n/3)+2n2+5n+42 T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 我认为，由于子问题和除法数量的不同，Master Theorem是不合适的。由于没有或T（0），因此递归树也不起作用。T （0 ）T(1)T(1)T(1)T(0)T(0)T(0)
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在一个间隔中找到两个数字的最大异或：我们能做得比二次更好吗？
lllrrrmax(i⊕j)max(i⊕j)\max{(i\oplus j)}l≤i,j≤rl≤i,j≤rl\le i,\,j\le r 天真的算法只检查所有可能的对。例如在红宝石中，我们有： def max_xor(l, r) max = 0 (l..r).each do |i| (i..r).each do |j| if (i ^ j &gt; max) max = i ^ j end end end max end 我感觉到，我们可以做得比二次。是否有针对此问题的更好算法？
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Landau的总和出了什么问题？
我写 ∑i=1n1i=∑i=1nO(1)=O(n)∑i=1n1i=∑i=1nO(1)=O(n)\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n) 但是我的朋友说这是错误的。从TCS备忘单中，我知道总和也称为，其对数增长。所以我的界限不是很敏锐，但足以满足我需要的分析需求。HnHnH_nnnn 我做错了什么？ 编辑：我的朋友说，以同样的理由，我们可以证明 ∑i=1ni=∑i=1nO(1)=O(n)∑i=1ni=∑i=1nO(1)=O(n)\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n) 现在，这显然是错误的！这里发生了什么？
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