为什么健全性意味着一致性？
我正在阅读以下问题：一致性和完整性暗示着健全性吗？里面的第一句话说： 我了解健全性意味着一致性。 这让我感到很困惑，因为我认为稳健性比一致性弱得多（即我认为一致性系统必须健全，但我猜这不是真的）。我在MIT的6.045 / 18.400课程中使用Scott Aaronson的非正式定义来保持一致性和健全性： 健全性=如果证明系统证明的所有陈述实际上都是真实的（可证明的一切都是真实的），则证明系统是正确的。即IF（ϕϕ\phi是可证明的）⟹⟹\implies（ϕϕ\phi为True）。因此，如果IF（有一个通往公式的路径）然后（该公式为True） 一致性=一致的系统永远不会证明A和NOT（A）。因此，只有一个A或它的取反可以为True。 考虑到这些（可能是非正式的）定义，我构造了以下示例，以说明存在一个健全但不一致的系统： CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}}CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}} CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} \} 我认为这是一个声音系统的原因是因为根据假设，该公理是正确的。因此，A和A都不成立（是的，我知道不包括排除中间定律）。因为唯一的推论规则是否定，所以我们可以从公理到达A而不是A并互相到达。因此，我们仅针对该系统得出True陈述。但是，系统当然并不一致，因为我们可以证明系统中唯一语句的取反。因此，我证明了声音系统可能不一致。为什么这个例子不正确？我做错什么了？ 在我看来，这在直觉上是有道理的，因为稳健性只是说，一旦我们从推理开始并且公理并推论推理规则，我们只会到达目标为True的目的地（即语句）。但是，它并不能真正说明我们到达哪个目的地。但是，一致性表示我们只能到达达到或（两者都不都是）的目标。因此，每个一致的系统都必须将排除中律定律作为一个公理，我当然没有这样做，然后仅将唯一公理的否定作为唯一其他公理。因此，我感觉自己做的事情并不聪明，但是某种程度上出了什么问题？¬ 一个AAA¬A¬A\neg A 我只是意识到这可能是一个问题，因为我使用的是Scott的非正式定义。甚至在我写问题之前，我都检查过维基百科，但对我来说它们的定义没有意义。他们特别说的是： 关于系统的语义 他们的完整报价是： 就系统的语义而言，系统中可以证明的每个公式在逻辑上都是有效的。