理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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为什么对布尔函数进行傅立叶分析“有效”？
多年来，我已经习惯于使用离散傅立叶分析来证明许多TCS定理。Walsh-Fourier（Hadamard）变换几乎可用于TCS的每个子字段，包括属性测试，伪随机性，通信复杂性和量子计算。 虽然我很乐意在解决问题时使用布尔函数的傅里叶分析作为一种非常有用的工具，尽管我有很好的预感，但使用傅里叶分析的情况可能会产生一些不错的结果。我必须承认，我不太确定是什么使基础变更如此有用。 是否有人对傅里叶分析为什么在TCS研究中如此富有成果有直觉？为什么通过编写傅立叶展开并执行一些操作来解决这么多看似困难的问题？ 注意：到目前为止，我的主要直觉（可能是微不足道的）是，我们对多项式的行为有很好的理解，并且傅立叶变换是将函数视为多线性多项式的自然方法。但是为什么要特别指定这个基地呢？在平价基础上有什么独特之处？
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DFA是否还有任何未解决的问题？
在研究了本科生的确定性有限状态自动机（DFA）之后，我感到它们非常好理解。我的问题是，对于它们，我们是否仍然不了解。我并不是说DFA的泛化，而是我们在本科学习的原始未经修改的DFA。 这是一个模糊的问题，但我希望您能理解。我想知道我们完全了解DFA是否公平。因此，我的意思是说，这些问题本质上是关于DFA的，而不是人为地使问题看起来像DFA的问题。让我举一个这样的问题的例子。如果P = NP，则L为空语言；如果P不是NP，则L为固定的非规则语言。L可以被DFA接受吗？这个问题是关于DFA的，但本质上不是关于它们的。我希望我的观点是明确的，并且不要从人们那里得到ped脚的非回答。 简而言之，公平地说 我们基本上完全了解DFA。 很抱歉，事实证明这是我尚未意识到的巨大研究领域，而且我只是侮辱了整个社区。
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如何放下您的证明
检查证明的一般准则是什么？我相信这对像我这样的研究生很重要。我已经知道我们需要做些什么来证明某些东西，但是在发送之前，您始终必须检查所有内容。甚至给自己的顾问。 我通过反复试验制定了一些策略，并从顾问那里得到了很多建议。但这始终是非常繁琐的工作。通常，当您完成某件事时，您只想继续下一个问题，但是您仍然必须坚持当前的问题，直到一切都变得完美为止。在这里，我展示了自己的一些技巧示例： 填写详细信息。如果您写“很明显……”，“不失一般性……”等，很多地方都会出错。 尝试一些数字。尝试极端情况，例如“当我设置或时会发生什么”。n=1n=1n=1n=1000n=1000n=1000 保持笔记本清洁。每天在上面写下，并与您的粗略笔记进行比较。我也尝试用乳胶写东西，这样我发现了很多错误。 您用来检查证明的一般策略是什么？ 这个问题的目的是使它成为社区维基。
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与人的思维可以快速完成的最紧密相关的复杂性类别是什么？
这个问题是我一段时间以来一直想知道的。 当人们描述P与NP问题时，他们经常将NP类与创造力进行比较。他们注意到，编写莫扎特品质的交响曲（类似于NP任务）似乎比验证已经组成的交响曲是莫扎特质量（类似于P任务）困难得多。 但是NP真的是“创造力阶层”吗？还有没有其他候选人吗？有句老话：“一首诗永远不会结束，只会被抛弃。” 我不是诗人，但是对我来说，这让我想起了没有明确正确答案可以快速验证的事物的想法……它比起NP或SAT更让我想起了coNP和TAUTOLOGY之类的问题。我想我要说的是，很容易验证一首诗“错误”并需要改进，但是很难验证一首诗“正确”或“完成”。 实际上，NP使我想起了更多的逻辑和左脑思维，而不是创造力。与诗歌或音乐相比，证明，工程问题，数独难题和其他定型的“左脑问题”更像是NP，并且从质量的角度来看更容易验证。 因此，我的问题是：哪个复杂性类别最准确地反映了人类可以用自己的思想完成的全部工作？我一直在无所事事地想知道（并且没有任何科学依据来支持我的推测），也许左脑不是一个近似的SAT解算器，而右脑不是一个近似TAUTOLOGY的解算器。也许是为了解决PH问题而建立了头脑……或者甚至可以解决PSPACE问题。 我已经在上面提供了我的想法；我很好奇是否有人可以对此提供更好的见解。简而言之，我要问的是：哪种复杂性类别应与人的思维能力有关，并寻求证据或论点来支持您的观点。或者，如果我的问题不适当地，并且无法比较人类和复杂性类别，为什么会这样呢？ 谢谢。 更新：除了上面的标题，我已经保留了所有内容，但这是我真正要问的问题：哪种复杂性类别与人的思维能力可以快速完成？如果可以的话，什么是“多项式人类时间”？显然，人类可以在无限的时间和资源下模拟图灵机。 我怀疑，答案是pH或PSPACE，但我真的不能明确表达了一个智能的，一致的说法为什么是这种情况。 另请注意：我主要对人类可以大致估计或“大部分时间可以做什么”感兴趣。显然，没有人能解决SAT的难题。如果头脑是一个近似的X-求解器，并且X对于类C是完整的，那很重要。
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有证据表明矩阵乘法可以在二次时间内完成吗？
人们普遍猜测，矩阵乘法的最佳指数实际上等于2。我的问题很简单：ωω\omega 我们有什么理由认为？ω=2ω=2\omega = 2 我知道像Coppersmith-Winograd这样的快速算法，但是我不知道为什么可以将这些视为证据。ω=2ω=2\omega = 2 天真地，在我看来，这就像一个经典的例子，一个社区仅仅希望出于美学原因才希望结果是真实的。我很想知道这里是否真的是这种情况。
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如何找到工作
我是这个网站的新手。在mathoverflow上，这将是社区Wiki，但我看不到如何在此处进行设置。这不是研究问题，但希望引起专业理论计算机科学家的兴趣。 我是理论上的二年级研究生，我想知道社区对于我现在要从事的学术工作有何建议。我知道我应该“做大量研究”-是的，我尝试。:-)我正在寻找不太明显的建议。社会方面有多重要？去开会，认识伟大的人吗？如果我的顾问/学校不出名，我是否处于不利地位？博客有助于/伤害我的机会吗？ 谢谢！
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一层，两个队列
背景 几年前，当我还是一名本科生时，我们得到了一项关于摊销分析的作业。我无法解决其中一个问题。我曾在comp.theory中提出过此要求，但没有得到满意的结果。我记得课程中TA坚持了他无法证明的事情，并说他忘记了证明，然后……[你知道吗]。 今天，我回顾了这个问题。我仍然很想知道，所以这里是... 问题 是否可以使用两个队列实现堆栈，以便PUSH 和POP操作都在摊销时间O（1）中运行？如果可以，你能告诉我如何吗？ 注意：如果我们要实现一个具有两个堆栈的队列（具有相应的操作ENQUEUE＆DEQUEUE），则情况非常简单。请注意区别。 PS：以上问题不是作业本身。作业不需要任何下限；只是一个实现和运行时间分析。
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可用于显示多项式时间硬度结果的问题
在设计新问题的算法时，如果过一会儿找不到多项式时间算法，我可能会尝试证明它是NP难的。如果我成功了，我已经解释了为什么我找不到多项式时间算法。并不是我可以肯定地知道P！= NP，而仅仅是用当前的知识可以做到这一点，实际上共识是P！= NP。 类似地，假设我已经找到了针对某些问题的多项式时间解，但是运行时间为。经过大量的努力，我对此没有任何进展。因此，我可能尝试证明它是3SUM硬的。这通常是令人满意的情况，不是因为我绝对相信3SUM确实确实需要Θ （n 2）时间，而是因为这是当前的最新状态，并且许多聪明的人都在尝试改进它，失败了 因此，尽我所能并不是我的错。O(n2)O(n2)O(n^2)Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2) 在这种情况下，我们最好的办法是硬度结果代替实际的下限，因为对于NP中的问题，我们没有图灵机的任何超线性下限。 是否存在可用于所有多项式运行时间的统一问题集？例如，如果我想证明某个问题不可能比更好的算法，是否存在某个问题X使我可以证明它是X-hard并留在那儿？O(n7)O(n7)O(n^7) 更新：此问题最初是针对家庭问题。既然没有那么多问题，而且这个问题已经收到了有关单个困难问题的出色示例，所以我将问题简化为可以用于多项式时间硬度结果的任何问题。我还在这个问题上添加了赏金，以鼓励更多答案。
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开放存取期刊
随着互联网（和常识）的出现，对开放获取研究的需求越来越多。几位研究人员（包括我在内）感到沮丧的是，发表的经过同行评审的研究文章背后是付费壁垒。我正在寻找期刊和会议（与理论计算机科学，图论，组合论，组合优化有关），以使所有人都能免费获得所有接受的出版物。 一些这样的期刊是计算理论，电子期刊组合学的，在计算机科学逻辑方法 如果您知道更多此类期刊（或会议），请在答案中提及它们。 编辑：正如大卫·埃普斯坦（David Eppstein）在他的回答中所建议的那样，我要添加一个约束。请只写那些不向作者收取高昂出版费用的期刊/会议。
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TCS前沿领域的未解决问题
在线程中理论计算机科学中主要未解决的问题？，Iddo Tzameret做出了以下出色评论： 我认为我们应该区分被视为基本问题的主要开放问题（例如）和将构成技术突破的重大开放问题（如果得到解决），但不一定是基本问题，例如指数下限电路（即门）。因此，我们可能应该打开一个新的社区Wiki，标题为“ TCS边界中的开放问题”等。P≠NPP≠NP P\neq NP AC0(6)AC0(6) AC^0(6) AC0+mod6AC0+mod6 AC^0+\mod 6 由于Iddo没有启动线程，因此我想我将启动该线程。 领域的主要开放问题通常是相关领域的研究人员所知道的，但是目前的研究停留在什么地方对外界来说却是未知的。引用的示例是一个很好的例子。作为局外人，很明显，电路复杂性的最大问题之一就是证明NP需要超多项式大小的电路。但是局外人可能不知道，我们所处的当前点正试图证明具有Mod 6门的AC 0电路的指数下限。（当然，可能存在其他类似难度的电路复杂性问题，这些问题将描述我们被困在哪里。这不是唯一的。）另一个示例是，显示SAT的时空下界比n 1.801更好。 这个线程就是这样的例子。由于很难描述此类问题，因此，我仅举一些此类问题具有的属性的示例： 通常，这不是该领域的大难题，但如果解决，将是一个重大突破。 通常，这并不是很难想象的，从某种意义上来说，如果有人告诉您问题已于昨天解决，那么相信这一点就不会太难了。 这些问题通常还会具有不是基本的数字或常数，但它们之所以出现，是因为这恰好是我们所困的地方。 与该领域最大的问题相反，该领域的最大问题将持续很多年，而特定领域的前沿问题将不时变化。 这些问题通常是最容易解决的问题。例如，我们也没有AC 1的指数下界，但是由于 [6]包含在该类中，因此形式上更容易显示 [6]的下界，因此当前电路复杂性的前沿。 A C 0AC0AC0AC^0AC0AC0AC^0 请为每个答案发布一个示例；标准的大名单和CW约定适用。如果有人可以比我更好地解释我们正在寻找什么类型的问题，请随时编辑此帖子并进行适当的更改。 编辑：卡夫（Kaveh）建议，答案还应包括为何给定问题处于前沿的解释。例如，为什么我们要针对AC 0 [6]而不是AC 0 [3] 寻找下限？答案是我们确实有针对AC 0的下限[3]。但是，显而易见的问题是，为什么这些方法对于AC 0失败了[6]。如果答案也能解释这一点，那就太好了。
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P或BPP中出现问题的总体原因
最近，当我与物理学家交谈时，我声称，根据我的经验，当天真的看起来需要花费指数时间的问题变成P或BPP时，这通常可以识别出发生还原的“总体原因” ---并且几乎总是，这个原因属于一打或更少的“通常的可疑对象”（例如：动态编程，线性代数...）。但是，那让我开始思考：我们真的可以写下这样的原因的体面清单吗？这是第一个不完整的尝试： （0）数学表征。问题具有非显而易见的“纯数学”特征，一旦知道，它就可以立即使您可以对一系列poly（n）可能性进行详尽的搜索。 例如：图平面度，从Kuratowski定理出发，遵循O（n 6）算法。 （正如下面的“平面”所指出的，这是一个糟糕的例子：即使您知道平面度的组合特征，给出多项式时间算法还是很不容易的。因此，让我在这里替换一个更好的例子：如何，例如，“假设输入n用二进制编写，则计算需要多少颜色才能对嵌入在具有n个孔的表面上的任意地图进行着色。”毫无疑问，这是完全可计算的（甚至是有限的！）。但是，有一个已知的公式给出了答案，一旦您知道了该公式，就可以用多项式时间进行计算，与此同时，应该添加“减少未成年未成年人/罗伯逊-西摩理论”作为一个单独的总体原因在P.） 无论如何，这不是我最感兴趣的情况。 （1）动态编程。 可以以一种无需递归分解的方式进行递归求解的方式分解问题-通常是因为要满足的约束以线性或其他简单顺序排列。“完全组合”；不需要代数结构。可以说，图可达性（因此2SAT）是特殊情况。 （2）拟阵 问题具有拟阵结构，可使贪婪算法起作用。示例：匹配，最小生成树。 （3）线性代数。 可以将问题简化为求解线性系统，计算行列式，计算特征值等。可以说，大多数涉及“奇迹般的取消”的问题，包括可以由Valiant的Matchgate形式主义解决的那些问题，也都属于线性代数的范畴。 （4）凸性。 问题可以表示为某种凸优化。半定规划，线性规划和零和博弈是常见的（越来越多）特殊情况。 （5）多项式恒等检验。 可以通过检查多项式恒等式来减少问题，从而使代数的基本定理产生有效的随机算法-在某些情况下，例如素数，甚至是可证明的确定性算法。 （6）马尔可夫链蒙特卡洛。 可以将问题简化为从快速混合步行的结果中取样。（例如：大约计算完美匹配。） （7）欧几里得算法。 GCD，连续分数... 杂项/分类方法不明确：稳定的婚姻，多项式因式分解，置换组的隶属度问题，数论和群论中的各种其他问题，低维晶格问题... 我的问题是：我遗漏的最重要的事情是什么？ 澄清： 我意识到不可能有一个完整的清单：无论您给出多少有限的原因，某人都将能够找到P中的奇特问题，但由于任何这些原因都不会。部分由于这个原因，我对在P或BPP中提出许多不同的，看似无关的问题的想法比只对一个问题有用的想法更感兴趣。 我也意识到，如何划分事物是主观的。例如，拟阵是动态编程的特例吗？深度优先搜索的可溶解性是否足够重要，足以成为其自身的理由，与动态编程分开？同样，通常由于多种原因，P中可能存在相同的问题，具体取决于您如何看待它：例如，由于线性代数，找到一个本征值在P中，这也是因为它是一个凸优化问题。 简而言之，我不希望有一个“分类定理”，只是希望有一个列表能有效地反映我们目前对有效算法的了解。这就是为什么我最感兴趣的是将这些东西应用到P或BPP中的技术，这些技术具有广泛的适用性，但不适合上面的清单-或其他一些改进我的初次尝试以弥补我夸耀的想法。物理学家。
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关于遗传算法的可行陈述
遗传算法在理论界没有太大的吸引力，但是它们是一种合理使用的元启发式方法（通过元启发式，我指的是一种普遍适用于许多问题的技术，例如退火，梯度下降等）。实际上，在实践中，类似于GA的技术对于欧几里得TSP相当有效。 从理论上对一些启发式方法进行了合理的研究：存在有关局部搜索和退火的工作。我们对交替优化（如k-means）如何工作有很好的认识。但是据我所知，遗传算法并没有真正有用的信息。 关于遗传算法的行为，是否有任何可靠的算法/复杂性理论，无论是形状还是形式？虽然我已经听说过诸如模式理论之类的东西，但由于我目前对该领域的理解不是特别的算法，因此我将其排除在讨论之外（但我可能会在这里误解）。
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您使用什么工具撰写论文？
您使用什么工具撰写论文？ 根据我的少量经验，理论家除了实际发挥创造力外，还花费大量时间撰写和完善论文。也就是说，将他们的工作传达给其他人。也许论文不是这样做的正确方法，但是应该将其留给其他讨论。在任何情况下，似乎都想通过使用尽可能好的软件工具来减少编写结果所需的时间。因此，此问题旨在找出其中的一些隐藏宝藏。 我认为我们大多数人都使用LaTeX和一些系统来组织论文参考。但是也有vim / emacs和一些非常漂亮的库，它们对我来说节省了很多时间。因此，我想了解您用于撰写论文的设置，也许还想了解一些您尝试学习但对您不起作用的东西。我对可能不太知名但已证明可以加快速度的事情特别感兴趣，即使它是某些用于绘制图形或自动完成功能的非常特定的软件。 Don Knuth在这里接受采访时讲述了他的设置。搜索问题“ 您使用哪些工具集[...] ”。 更新：Sadeq 在这里向我介绍了有关绘制图的工具的讨论。
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