理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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计算机在哪里以及如何帮助证明定理?
该问题的目的是从理论计算机科学中收集示例,这些示例对系统地使用计算机有所帮助 在建立导致定理的猜想时, 伪造猜想或证明方法, 构造/验证(部分)证明。 如果您有特定示例,请描述其完成方式。也许这将帮助其他人在日常研究中更有效地使用计算机(到目前为止,在TCS中这似乎仍然是相当不常见的做法)。 (由于没有单个“正确”答案,因此被标记为社区Wiki。)

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令人惊讶的问题计数算法
存在一些计数问题,其中涉及对许多事物进行指数计数(相对于输入的大小),但是却具有令人惊讶的多项式时间精确确定性算法。示例包括: 在平面图中计算完美匹配(FKT算法),这是全息算法如何工作的基础。 计算图中的生成树(通过基尔霍夫矩阵树定理)。 这两个示例中的关键步骤是减少计数问题,从而计算出某个矩阵的行列式。当然,行列式本身就是指数式许多事物的总和,但令人惊讶地可以在多项式时间内计算。 我的问题是:是否有已知的“令人惊讶的高效”精确和确定性算法可以计算问题,而不会减少计算行列式?

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能否将P = NP放大到超过P = PH?
在描述复杂性方面,Immerman具有 推论7.23。以下条件是等效的: 1. P = NP。 2.在有限的有序结构上,FO(LFP)= SO。 可以认为这是将P = NP“放大”为(大概)较大复杂度类的等效语句。请注意,SO捕获多项式时间层次结构PH,而FO(LFP)捕获P,因此可以将其视为P = NP且P = PH。 (其中有趣的部分是,对于任何包含NP的CC类,P = NP表示P = PH; P = CC表示P = NP是微不足道的。Immerman简单地指出“如果P = NP则PH = NP” ,大概是因为P = NP可以与PH的oracle定义一起使用,以归纳地表明整个层次结构都崩溃了。) 我的问题是: 这样可以将P = NP放大多少? 特别地,什么是最大的已知类CC',使得P = NP表示P = CC',最小的类CC',使得P = NP意味着CC = NP?这将使P = NP被等效问题CC = CC'代替。P似乎是一个相当强大的类,它似乎为试图将其与NP分离的参数提供了很少的“摆动空间”:该摆动空间可以放大多远? 我当然也会对一个表明P …


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用来证明整洁的组合陈述的信息论?
在使用信息论以简单方式证明整洁的组合陈述时,您最喜欢的示例是什么? 一些例子我能想到的都涉及到降低对本地解码的代码,如边界,在此纸:假设为一串二进制字符串的长度的Ñ它认为对于每个我,对于ķ 我不同双{ Ĵ 1,Ĵ 2 },ê 我 = X Ĵ 1 ⊕ X Ĵ 2。那么m在n中至少是指数的,其中指数线性地取决于k的平均比率X1个,。。。,X米x1,...,xmx_1,...,x_mñnn一世iiķ一世kik_iĴ1个,Ĵ2j1,j2j_1,j_2Ë一世= xĴ1个⊕ XĴ2。ei=xj1⊕xj2.e_i = x_{j_1} \oplus x_{j_2}.。ķ一世/米ki/mk_i/m 另一个(相关的)示例是布尔立方体上的等距不等式(请在您的答案中详细说明)。 你有更多好的例子吗?最好简短易懂。

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每个人都应该阅读哪些CS博客?
许多顶尖的计算机科学研究人员和研究小组都维护着活跃的博客,这些博客使我们随时了解作者感兴趣的领域的最新研究。在大多数情况下,博客文章比正式文章更易于理解,因为它们忽略了大多数血腥的技术细节并强调了直觉(通常省略了这些文章)。 因此,按照与其他推荐资源列表相同的精神,拥有一个推荐博客列表将很有用: 每个人都应该阅读哪些论文? 每个人都应该读什么书? 可在线获取其草案的最新TCS书籍是什么? 每个人都应该观看哪些视频? 每个人都应该阅读哪些讲义? 当然,可以遵循出色的Computing Blog Blog Aggregator理论,但该列表相当庞大,特别是对于初学者。 请突出说明您为什么推荐它们。

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图同构问题是否存在间隙扩增类型的结果?
假设和是顶点集上的两个无向图。当且仅当存在一个置换使得或更正式时,如果存在一个置换使得是的边,则图是同构的如果是的边。图同构问题是确定两个给定图是否同构的问题。G1G1G_1G2G2G_2{1,…,n}{1,…,n}\{1, \dotsc, n\}ΠΠ\PiG1=Π(G2)G1=Π(G2)G_1 = \Pi(G_2)ΠΠ\Pi(i,j)(i,j)(i,j)G1G1G_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G2G2G_2 在图上是否存在以Dinur证明PCP定理的样式产生“间隙放大”的运算?换句话说,是否存在从到的多项式时间可计算转换,使得(G1,G2)(G1,G2)(G_1,G_2)(G′1,G′2)(G1′,G2′)(G'_1,G'_2) 如果和是同构的,则和也同构,并且G1G1G_1G2G2G_2G′1G1′G'_1G′2G2′G'_2 如果和不同构,则对于每个排列,图形是“ -far”从对于一些小的常数,其中 -far意味着,如果我们随机地均匀选择,然后以概率G1G1G_1G2G2G_2ΠΠ\PiG′1G1′G'_1ϵϵ\epsilonΠ(G′2)Π(G2′)\Pi(G'_2)ϵϵ\epsilonϵϵ\epsilon(i,j)(i,j)(i,j)ϵϵ\epsilon要么 是的边缘 ģ ' 1和(Π (我),Π (Ĵ ))不是一个边缘 ģ ' 2,或(i,j)(i,j)(i,j)G′1G1′G'_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G′2G2′G'_2 (i,j)(i,j)(i,j)不是的边缘,而是的边缘。G′1G1′G'_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G′2G2′G'_2

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TCS对“为什么神经网络这么好工作?”这个问题想要什么样的答案?
我的博士学位 是纯数学领域的,我承认我对理论CS不太了解。但是,我开始探索自己职业生涯中的非学术选择,并在向自己介绍机器学习时,偶然发现诸如“没人知道为什么神经网络运作良好”这样的陈述,我发现这很有趣。 本质上,我的问题是研究人员想要什么样的答案?这是我对该主题进行简短搜索时发现的: 实现简单神经网络的算法非常简单。 从统计学上来说,SGD的过程在数学上是很容易理解的。 通用逼近定理是有力的和证明的。 最近有一篇不错的论文https://arxiv.org/abs/1608.08225,该论文基本上给出了这样的答案,即通用逼近远远超出了我们实际在实践中所需的值,因为我们可以对要使用该函数建模的函数做出强有力的简化假设。神经网络。 在上述论文中,他们指出(解释)“ GOFAI算法在分析上已被完全理解,但是许多ANN算法仅在试探性上被理解”。已实现算法的收敛定理是我们似乎对神经网络确实具有解析理解的一个示例,因此,在这种普遍性水平上的陈述并不能告诉我太多关于已知与未知或被认为是“答案”的信息。 ”。 作者确实在结论中暗示,诸如逼近给定多项式所需的神经网络大小的有效界限之类的问题是开放且有趣的。在说我们“理解”神经网络时,还需要回答数学上特定的分析问题的其他例子吗?是否有可能用更纯粹的数学语言回答的问题? (由于本文是使用物理学,所以我专门考虑了表示理论中的方法-并且,自私地,因为这是我的研究领域。但是,我也可以想象诸如组合/图论,代数几何等领域以及提供可行工具的拓扑。)

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对于P中的哪些问题,验证结果比查找结果容易吗?
对于NP完全问题(搜索版本),验证解决方案显然比查找解决方案容易,因为验证可以在多项式时间内完成,而找到证人则需要(可能)指数时间。 但是,在P中,解决方案也可以在多项式时间内找到,因此当验证比找到解决方案快时,它似乎并不明显。实际上,从这个角度来看,不同的问题似乎表现出不同的行为。一些例子: 3SUM:给定输入数字,在其中找到3个总和为0。据我所知,最快的已知算法在 时间内运行,并且此顺序被推测为最佳。另一方面,解决方案的验证要快得多,因为我们要做的只是检查所找到的3个数字的总和是否为0。O (n 2 − o (1 ))ñnnØ (ñ2 − o (1 ))O(n2−o(1))O(n^{2-o(1)}) 全对最短路径: 给定具有边权重的图形,计算其最短路径距离矩阵。一旦给出这样的矩阵,是否可以比重新计算更快地检查它是否确实是正确的距离矩阵?我的猜测是,答案可能是肯定的,但肯定不如3SUM明显。 线性规划。如果给出了要求保护的最优解决方案,则在还给出辅助信息的情况下,检查比重新计算要容易得多(最优对偶解决方案)。另一方面,如果仅原始解决方案可用,则不清楚是否可以比实际解决LP更快地对其进行检查。 问题:对这个问题了解多少?也就是说,什么时候比P容易找到解决问题的方法?

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多项式Hirsch猜想的组合版本
考虑{1,2,…,n},F 1,F 2,… F t的不相交的子集。ŤttF1个,F2,… FŤF1,F2,…Ft{\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t} 假设 (*) 对于每一个 和每ř ∈ ˚F我,和Ť ∈ ˚F ķ,有小号∈ ˚F Ĵ含有ř ∩ Ť。i < j < ki<j<ki \lt j \lt k[R ∈ ˚F一世R∈FiR \in {\cal F}_iŤ∈ ˚FķT∈FkT \in {\cal F}_k小号∈ ˚FĴS∈FjS \in {\cal F}_jř ∩ ŤR∩TR \cap T 基本问题是: 不能多大??? …

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对于哪种算法,理论分析与现实之间有很大的差距?
分析算法效率的两种方法是 在其运行时设置渐近上限,并且 运行它并收集实验数据。 我想知道在(1)和(2)之间是否存在明显差距。我的意思是,要么(a)实验数据表明渐近渐近,要么(b)有算法X和Y使得理论分析表明X比Y好得多,实验数据表明Y比Y好得多。 X。 由于实验通常会揭示平均情况下的行为,因此,我希望最有趣的答案涉及平均情况下的上限。但是,我不想排除谈论不同范围的可能有趣的答案,例如Noam关于Simplex的答案。 包括数据结构。请为每个答案输入一个算法/ ds。

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纯功能数据结构中有哪些尚待解决的问题?
自1998年冈崎(Okasaki)的书出版以来,有关PFDS的新问题又激发了这个问题。 我将从两个问题开始: 是否有一种纯粹的功能集数据结构可以接近哈希表的速度?尝试还不存在。 是否有O(1)附加的纯功能手指树?迄今为止最好的是由Kaplan和Tarjan设计的O(lg lg n)。 还有哪些其他纯粹的功能数据结构问题?

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餐桌上对理论计算机科学的描述?
经常有人问我理论上的计算机科学家会做什么。对这个问题有一些好的回答,将是很好的。我倾向于退回到技术术语上,此时人们的眼睛通常会呆滞。 用非计算机科学家可以理解的术语来说,理论上的计算机科学家会做什么? 一个好的答案应该活泼,准确,没有模棱两可的含义。对于加分,答案应暗示为什么理论计算机科学家既不是数学家也不是IT从业人员。 尽管目的不同,但此问题是受MO问题https://mathoverflow.net/questions/3559/colloquial-catchy-statements-encoding-serious-mathematics启发而产生的。

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Wiesner量子货币的严格安全证明?
斯蒂芬·维斯纳(Stephen Wiesner)在其著名的论文“共轭编码”(1970年左右)中提出了一种量子货币方案,该方案无条件地不可伪造,前提是发卡银行可以使用巨大的随机数表,并且可以携带钞票回到银行进行验证。在Wiesner的方案中,每张钞票由一个经典的“序列号”以及一个由量子比特组成的量子货币状态组成,每个量子比特| ψ 小号 ⟩sss|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\ranglennn |0⟩, |1⟩, |+⟩=(|0⟩+|1⟩)/2–√, or |−⟩=(|0⟩−|1⟩)/2–√.|0⟩, |1⟩, |+⟩=(|0⟩+|1⟩)/2, or |−⟩=(|0⟩−|1⟩)/2.|0\rangle,\ |1\rangle,\ |+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2},\ \text{or}\ |-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}. 该银行还记得的经典描述每一个。因此,当将带回银行进行验证时,银行可以以正确的基础测量每个量子位(或),并检查其是否获得正确的结果。小号| ψ 小号 ⟩ | ψ 小号 ⟩ { | 0 ⟩ ,| 1 ⟩ } | + ⟩ ,| - ⟩|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\ranglesss|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\rangle|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\rangle{|0⟩,|1⟩}{|0⟩,|1⟩}\{|0\rangle,|1\rangle\}|+⟩,|−⟩|+⟩,|−⟩{|+\rangle,|-\rangle} 另一方面,由于不确定性关系(或者说,无克隆定理),如果不知道正确碱基的伪造者试图复制,那么“直观上就很明显”。对于某些常数,造假者的两个输出状态均通过银行的验证测试的概率最多为。此外,无论伪造者采用哪种策略,都应采用与量子力学一致的策略(例如,即使伪造者在上使用奇特的纠缠测量),也应如此。ç Ñ ç &lt; 1 | ψ 小号 ⟩|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\ranglecncnc^nc&lt;1c&lt;1c<1|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\rangle 但是,在撰写有关其他量子货币方案的论文时,我和我的合著者意识到我们从未在任何地方看到上述要求的严格证据,或者在没有明确的上限:无论是在Wiesner的原始论文还是以后的任何论文中, …

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最难忘的CS论文标题
在MO中提出了一个富有成果的问题后,我认为有必要在CS中讨论一些著名的论文名称。 很明显,我们大多数人可能会被吸引去阅读(或至少看一眼)标题有趣的论文(至少每次我在会议中浏览论文列表时都会这样做),或者避免阅读不佳命名文章。 您记得哪些论文是因为它们的标题(以及不必要的内容)? 我最喜欢的虽然不是适当的TCS论文,但“关系模型已失效,SQL已失效,而我自己也感觉不太好。” 。

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