Questions tagged «comp-number-theory»

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数字字段分解的复杂性
对于一般数字字段中的因式分解整数的计算复杂度了解多少？进一步来说： 在整数上，我们通过其二进制扩展表示整数。一般数字字段中整数的类似表示是什么？ 是否知道素数域中的素数在P或BPP中？ 分解数字字段的最著名算法是什么？（和（显然）算法是否从扩展？）在这里，分解是指找到某个数字的表示形式（用位表示），如下所示：素数的乘积。 EXPÑ 1 / 3 žÑexpn−−√exp⁡n\exp \sqrt nexpn1/3exp⁡n1/3\exp n^{1/3}ZZ\mathbb{Z}nnn 在数字字段中找到整数的所有因式分解的复杂度是多少？算上它有多少个不同的分解？ 在，已知确定给定数字是否在区间具有因数是NP难的。在数字字段中的整数环上，是否可能会发现是否存在一个范数在一定间隔内的素数已经是NP难的？ [ a ，b ]ZZ\mathbb{Z}[a,b][a,b][a,b] 是否在BQP中考虑数字字段？ 言论，动机和更新。 当然，分解在数字字段上不是唯一的事实在这里至关重要。这个问题（尤其是第5部分）是由有关GLL的博客文章（请参见此注释）以及这个较早的TCSexchange问​​题引起的。我还在博客上展示了它，Lior Silverman 给出了详尽的答案。
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素数计数功能#P是否完成？
召回π(n)π(n)\pi(n)的素数的数量≤n≤n\le n是质数计算函数。通过“ P中的PRIMES”计算π(n)π(n)\pi(n)在#P中。问题#P是否完成？或者，也许有一个复杂的原因认为此问题不是#P完全的？ PS：我意识到这有点天真，因为必须有人研究了这个问题并证明/反对/猜想了这一点，但是我似乎无法在文献中找到答案。看到如果您好奇我为什么在这里，此处。
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给定
谁能帮助我解决以下问题？ 我想找到一些值ai,bjai,bja_i,b_j（mod NNN），其中i=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K （例如K=6K=6K=6），给定一个K2K2K^2值的列表，对应于差ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N（例如N=251N=251N=251），而无需知道具体的对应关系。由于价值观ai,bj(modN)ai,bj(modN)a_i,b_j\pmod N并不是唯一确定给定的差异ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N，我们寻找任何 价值的有效分配。 绝对地，尝试列表中K2K2K^2数字的每个置换（总共K2!K2!K^2!可能的情况），然后以ai,bjai,bja_i,b_j作为变量求解模块化方程是不可行的。 实际上，此问题出现在有关对NTRU签名方案的早期版本进行密码分析的论文中（http://eprint.iacr.org/2001/005）。但是，作者只写了一个句子“简单的回溯算法找到了一种解决方案……”（在第3.3节中），所以有人可以给出更多的解释吗？此外，作者还提到“每个循环移位{((ai+M)modN,(bi+M)modN}Ki=1{((ai+M)modN,(bi+M)modN}i=1K\{((a_i+M)\mod N,(b_i+M)\mod N\}_{i=1}^K或掉期交易({(N−1−bi,N−1−ai)}Ki=1)({(N−1−bi,N−1−ai)}i=1K)(\{(N-1-b_i,N-1-a_i)\}_{i=1}^K)导致a_i-b_j \ mod N的模式相同，ai−bjmodNai−bjmodNa_i-b_j\mod N这对您有帮助吗？
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行列式模
什么是用于计算与系数的整数矩阵的行列式的已知有效的算法，残基的环模米。数米可能不是素数，但复合材料（以便计算在环执行，而不是一个场）。ž米Zm\mathbb{Z}_m米mm米mm 据我所知（请参阅下文），大多数算法都是对高斯消去算法的修改。问题是这些程序的计算效率。 如果碰巧有其他方法，我也对此感到好奇。 提前致谢。 更新： 让我解释一下这个问题的根源。假设，是质数。因此Z m是一个场。在这种情况下，我们可以使用小于m的数字执行所有计算，因此我们对数字的所有运算都有一些不错的上限：加法，乘法和求逆---运行高斯消除所需的所有运算。米mmZmZm\mathbb{Z}_mmmm 另一方面，在不是素数的情况下，我们无法对某些数字进行求逆。因此，我们需要一些技巧来计算行列式。mmm 现在，我很好奇完成这项工作的已知技巧是什么，以及是否可以在书籍和论文中找到这些技巧。
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？
在阅读Dick Lipton的博客时，我偶然发现了他的Bourne Factor帖子结尾处的以下事实： 如果对于每个，都存在形式的关系 其中，每个，和的位长均为，则因式分解为多项式电路。（2 n）！= m − 1 ∑ k = 0 a k b c k k m = p o l y （n ）a k b k c k p o l y （n ）nnn(2n)!=∑k=0m−1akbckk(2n)!=∑k=0m−1akbkck (2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k} m=poly(n)m=poly(n)m = poly(n)akaka_kbkbkb_kckckc_kpoly(n)poly(n)poly(n) 换句话说，具有指数位数的位，可以有效地表示。(2n)!(2n)!(2^n)! 我有几个问题： 有人可以提供上述关系的证明，告诉我名称和/或提供任何参考文献吗？ 如果我要给你，以及，和每一个，是否可以提供一个多项式时间算法来检查关系的有效性（即）？中号一个ķ …
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是否有用于计算GCD的量子NC算法？
从我对MathOverflow的一个问题的评论中，我 感觉到有关GCD位于与中的问题类似于有关整数分解的问题位于与的问题。。氮碳ñC\mathsf{NC}PP\mathsf{P}PP\mathsf{P}ñ PñP\mathsf{NP} 对于GCD，是否存在类似于“量子 ”算法的东西，因为存在用于整数分解的量子多项式时间（）算法？氮碳ñC\mathsf{NC}乙Q P乙问P\mathsf{BQP} 相关问题：最大公约数（gcd）的复杂度
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计算Mobius函数
Mobius函数定义为，如果具有素数平方，则，并且如果所有素数不相同。是否有可能来计算，而不计算的因式分解？μ （1 ）= 1 μ （Ñ ）= 0 Ñ μ （p 1个 ... p ķ）= （- 1 ）ķ p 1，... ，p ķ μ （Ñ ）ñμ(n)μ(n)\mu(n)μ(1)=1μ(1)=1\mu(1)=1μ(n)=0μ(n)=0\mu(n)=0nnnμ(p1…pk)=(−1)kμ(p1…pk)=(−1)k\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^kp1,…,pkp1,…,pkp_1,\dots,p_kμ(n)μ(n)\mu(n)nnn
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这个问题的复杂程度？
我试图了解以下问题属于哪个复杂度类： 指数多项式根问题（EPRP） 让是一个多项式度（p ）≥ 0与从有限域绘制系数ģ ˚F （q ）与q为素数，和- [R原始的该字段根。确定以下解： p （x ）= r x （或等价地，p （x ）− r x的零），其中r x表示指数r。p(x)p(x)p(x)deg(p)≥0deg⁡(p)≥0\deg(p) \geq 0GF(q)GF(q)GF(q)qqqrrrp(x)=rxp(x)=rxp(x) = r^x p(x)−rxp(x)−rxp(x) - r^xrxrxr^xrrr 请注意，当（多项式是一个常数）时，此问题恢复为离散对数问题，该问题被认为是NP中间的，即，它在NP中，但在P或NP中都不完整。deg(p)=0deg⁡(p)=0\deg(p)=0 据我所知，不存在用于解决此问题的高效（多项式）算法（Berlekamp和Cantor–Zassenhaus算法需要指数时间）。可以通过两种方式找到此类方程式的根： 在字段中尝试所有可能的项目，并检查它们是否满足方程式。显然，这需要场模的位大小中的指数时间。xxx 指数可在多项式形式被改写，通过使用拉格朗日内插来内插所述点 { （0 ，- [R 0），（1 ，- [R 1），... ，（q - 1，- [R q - 1）}，确定一多项式f （x ）。这多项式是相同的，以[R X正是因为我们是在一个有限的领域工作。然后，差prxrxr^x{(0,r0),(1,r1),…,(q−1,rq−1)}{(0,r0),(1,r1),…,(q−1,rq−1)}\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}f(x)f(x)f(x)rxrxr^{x}可以分解以找到给定方程式的根（使用Berlekamp或Cantor–Zassenhaus算法），并且该根可以读出这些因数。但是，此方法甚至比穷举搜索更糟：因为平均而言，经过 n个给定点的多项式将具有 …
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使用de Bruijn序列找到整数的
肖恩·安德森发表位摆弄黑客包含埃里克·科尔的算法来找到一个的位整数在的操作与乘法和查找。Ñ v ø （LG （Ñ ））⌈log2v⌉⌈log2⁡v⌉\lceil\log_2 v \rceilNNNvvvO(lg(N))O(lg⁡(N))O(\lg(N)) 该算法依赖于De Bruijn序列中的“魔术”数。谁能解释这里使用的序列的基本数学特性？ uint32_t v; // find the log base 2 of 32-bit v int r; // result goes here static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = { 0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, 29, 11, 14, 16, 18, 22, 25, 3, 30, 8, …
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