Questions tagged «linear-algebra»

线性代数处理向量空间和线性变换。

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布尔错误校正码
是否有任何已知的线性纠错码构造ECC:Fnq→FmqECC:Fqn→Fqm\mathsf{ECC}:\mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^m（以合理的参数），以使得给定的一个布尔矢量时v∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^n，它也返回一个布尔矢量p？（尽管超过FqFq\mathbb{F}_q） v ∈ { 0 ，1 } Ñ εPr[ECC(v)∈{0,1}m]>1−ϵPr[ECC(v)∈{0,1}m]>1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}(v) \in \{0,1\}^m]>1-\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nϵϵ\epsilon 如果不是，将条件放宽到 其中返回第个坐标怎么办？ 的，是任意小，并且概率取两者上均匀选择且均匀地选择坐标。Ë Ç Ç我我Ê Ç Ç ε v ∈ { 0 ，1 } Ñ我∈ [ 米]Pr[ECCi(v)∈{0,1}]>1−ϵPr[ECCi(v)∈{0,1}]>1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}_i(v) \in \{0,1\}]> 1-\epsilonECCiECCi\mathsf{ECC}_iiiiECCECC\mathsf{ECC}ϵϵ\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^ni∈[m]i∈[m]i\in[m]
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这样的矩阵可以存在吗？
在我的工作中，我想到了以下问题： 我正在尝试为任何一个找到 -matrix，具有以下属性：（0 ，1 ）中号Ñ > 3n×nn×nn \times n (0,1)(0,1)(0,1)MMMn>3n>3n > 3 的行列式为偶数。MMM 对于任何具有非空子集，当且仅当，子矩阵具有奇数行列式。 | 我| = | J | M I J I = JI,J⊆{1,2,3}I,J⊆{1,2,3}I,J\subseteq\{1,2,3\}|I|=|J||I|=|J||I| = |J|MIJMJIM^I_JI=JI=JI=J 这里表示的子矩阵创建通过与索引移除所述行并与索引列。 M I JMIJMJIM^I_JMMMIIIJJJ 到目前为止，我试图通过随机采样找到这样一个矩阵，但是我只能找到一个具有除第一个属性之外的所有属性的矩阵，即，该矩阵始终具有奇数行列式。我尝试了各种尺寸和不同的输入/输出集，但均未成功。所以这让我想： 需求之间是否存在依赖关系，从而阻止了它们同时满足？ 要么 这样的矩阵是否可能存在，有人可以给我一个例子吗？ 谢谢，Etsch
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找到一个将多面体均匀分裂的切割平面
假设我们有一个标准形式的多面体： 甲X = bX ≥ 0一个X=bX≥0\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*} 有什么已知的方法可以找到一个超平面来分裂多面体，使得超平面每一侧的顶点数量大致相同？（即最小化分割两侧顶点基数绝对差的算法）。d x + d0= 0dX+d0=0\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0 另外，关于此问题的复杂性是否有任何已知结果？ 附录：限制裁员类型： 这是原始问题的一种变体，希望它比原始问题更容易解决： 有没有一种方法可以有效地计算或估计形式的超平面会为哪个坐标产生分裂两边的顶点基数的最小绝对差？“有效”是指所有可能的拆分都比穷举顶点基数更有效。一世一世id一世X一世+ d0= 0d一世X一世+d0=0d_ix_i + d_0 = 0 注意：经过几天的小改进，我也在MathOverflow上发布了此问题。
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将单一运算符的输入限制为实数和通用门集
在Bernstein和Vazirani的开创性论文“量子复杂性理论”中，他们表明维单一变换可以通过它们所谓的“近平凡旋转”和“近平凡相移”的乘积有效地近似。ddd “近平凡旋转”是维单一矩阵，在除2维之外的所有维上均充当标识，但在由这两个维跨过的平面中充当旋转（即具有2x2子矩阵，其形式为：ddd （cosθ罪θ− 罪θcosθ）(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ) \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix} 对于一些）。θθ\theta “近琐碎相移”是维酉矩阵充当针对所有未1个维的身份，但适用的因子ë 我θ一些θ于一个维度。dddË我θeiθe^{i\theta}θθ\theta 此外，它们显示，仅一个旋转角度需要（对于旋转和相移unitaries两者），给定角度是一个不合理的多个（BV设置角度为2 π ＆Sigma; ∞ Ĵ = 1 2 - 2 Ĵ。2π2π2\pi2π∑∞j=12−2j2π∑j=1∞2−2j2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}} 随后的有关量子复杂性理论的论文（如Adleman等人或Fortnow和Rogers的论文）声称BV结果表明，通用量子计算可以使用条目在 unit算子完成。RR\mathbb{R} 这是怎么回事？我可以理解，近平凡旋转矩阵的乘积将为您提供带实数项的unit矩阵，但是相移矩阵又如何呢？ 也就是说：如果您只能执行近乎平凡的旋转，并且相移矩阵的矩阵项为，我们是否可以有效地近似所有其他相移矩阵？0,±10,±10,\pm 1 我怀疑这种暗示不是立即显而易见的，而对其的正确证明将类似于证明类似德意志托菲利之门的通用性证据-或者我是否遗漏了非常明显的东西？
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有效地求解所有系数均等于1的严格线性不等式的系统，而无需使用一般的LP解算器？
除了使用通用的LP解算器，每个标题都提供一种解决变量不等式系统的方法 xi,…,xkxi,…,xkx_i, \ldots, x_k 不等式的形式 ∑i∈Ixi&lt;∑j∈Jxj∑i∈Ixi&lt;∑j∈Jxj\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j？那么关于不等式的特殊情况呢？不等式构成了一个幂集成员的总和{xi,…,xk}{xi,…,xk}\{x_i, \ldots, x_k\}？
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线性程序的中点解决方案
有一个线性程序，我不仅要寻求一个解决方案，而且要拥有一个假定最小值的多面体表面尽可能中心的解决方案。 先验地，由于各种原因，我们期望最小化的面应该是高维的，包括最小化的目标函数是许多约束的最大值： 最小化 ϵϵ\epsilon 服从 fi(x¯)≤ϵ&lt;0fi(x¯)≤ϵ&lt;0f_i(\bar x) \leq \epsilon < 0 与 fifif_i 线性和 xi&gt;0xi&gt;0x_i > 0 对所有人 iii 和 ∑ixi=1∑ixi=1\sum_i x_i = 1。 当然，我们永远不会从单纯形算法中获得任何类似集中性的属性。但是，任何常规的内部点算法都具有这种特性吗？甚至可以保证尽可能避免顶点或低尺寸的面吗？ 实际上，我可能很满足于一个简单的二次程序，该程序可以找到整个多面体的中点，因为中心性比最小性更重要，只是模糊地好奇其他线性编程算法是否提供相关的属性。 更新：我已将基本问题简化为一个可通过拉格朗日乘法器解决的简单约束最小化问题，但是上述问题仍然很有趣。
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UPB的多项式算法（不可扩展的产品基础）
考虑希尔伯特空间 H=H1⊗⋯⊗HnH=H1⊗⋯⊗HnH = H_1 \otimes \dots \otimes H_n。不可扩展乘积基（UPB）是一组乘积向量|v一世⟩ = |v1个一世⟩ ＆CircleTimes; ⋯ ＆CircleTimes; |vñ一世⟩|v一世⟩=|v一世1个⟩⊗⋯⊗|v一世ñ⟩\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle 这样： a）全部 |v一世⟩|v一世⟩\vert v_i \rangle 互相正交 b）没有与所有正交的乘积向量 |v一世⟩|v一世⟩\vert v_i \rangle c）基础不平凡，即不跨越 HHH （这样的碱基对量子信息很重要） 问题： 是否有多项式算法（在 ññn）以查找UPB？（请注意，一般而言，UPB的大小没有上限，因此在先验中，它的大小可能是指数的ññn） 是否存在用于检查给定产品基础是否为UPB的多项式算法？（即不可扩展） 还是问题NP完全？
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