为什么离散傅立叶变换可以有效地实现为量子电路？
这是一个熟知的结果是离散傅立叶变换（DFT）的的数字具有复杂与最好的已知算法，在执行傅立叶变换的量子状态的幅度的，使用经典QFT算法，只需要基本门。N=2nN=2nN=2^nO(n2n)O(n2n)\mathcal O(n2^n)O(n2)O(n2)\mathcal O(n^2) 有什么已知的原因会导致这种情况吗？我的意思是说，DFT是否存在已知的特性，可以实现其高效的“量子版本”。 实际上，可以将基于维向量的DFT 视为线性运算 NNNy⃗ =DFTx⃗ ,DFTjk≡1N−−√exp(2πiNjk).y→=DFTx→,DFTjk≡1Nexp(2πiNjk).\vec y=\operatorname{DFT} \vec x, \qquad \text{DFT}_{jk}\equiv \frac{1}{\sqrt N}\exp\left(\frac{2\pi i}{N}jk\right). 给定一个量子状态，此问题的“量子版本”是任务，获得输出状态，使得 | \ boldsymbol y \ rangle = \ operatorname {DFT} | \\ boldsymbol x \ rangle = \ operatorname {QFT} | \\ boldsymbol x \ rangle。|x⟩≡∑Nk=1xk|k⟩|x⟩≡∑k=1Nxk|k⟩|\boldsymbol x\rangle\equiv\sum_{k=1}^N x_k|k\rangle|y⟩≡∑Nk=1yk|k⟩|y⟩≡∑k=1Nyk|k⟩|\boldsymbol y\rangle\equiv\sum_{k=1}^N y_k |k\rangle|y⟩=DFT|x⟩=QFT|x⟩.|y⟩=DFT|x⟩=QFT|x⟩.|\boldsymbol y\rangle=\operatorname{DFT}|\boldsymbol …