Questions tagged «convergence»

据我了解，解决线性方程组的方法有两大类： 固定方法（Jacobi，Gauss-Seidel，SOR，Multigrid） Krylov子空间方法（共轭梯度，GMRES等） 我了解到，大多数固定方法都是通过迭代地放松（平滑）错误的傅立叶模式而起作用的。据我了解，共轭梯度法（Krylov子空间法）通过“逐步”遍历来自应用于第ñnn个残差的矩阵的幂的最佳搜索方向集而工作。这个原理对所有Krylov子空间方法都通用吗？如果不是，那么，一般来说，我们如何表征Krylov子空间方法收敛的原理？

24 linear-algebra  convergence  krylov-method  conjugate-gradient 

在松懈的等价性定理指出，一致性和数值方案的稳定性用于线性初值问题是收敛的必要和充分条件。但是对于非线性问题，尽管数值方法是一致且稳定的，但数值方法可以非常合理地收敛到错误的结果。例如，本文显示了应用于一维线性化浅水方程的一阶Godunov方法如何收敛到一个不正确的解。 显然，在网格和时间步长细化下的自收敛是不够的，但是对于非线性PDE来说，精确解通常是不可用的，那么如何确定一种数值方法是否收敛到一个真解？

19 pde  stability  convergence 

FFT毒物求解器的理论收敛速度是多少？ 我正在求解泊松方程： 其中 在域具有周期边界条件。该电荷密度是净中性的。解决方案如下： 其中。在倒易空间 其中是倒易空间矢量。我对Hartree能源感兴趣： Ñ∇2VH(x,y,z)=−4πn(x,y,z)∇2VH(x,y,z)=−4πn(x,y,z)\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z)[0，2]×[0，2]×[0，2]Vħ（X）=∫Ñ（ y）n(x,y,z)=3π（（X -1)2+(y− 1)2+(z− 1)2− 1 ）n(X，ÿ，ž）=3π（（X-1个）2+（ÿ-1个）2+（ž-1个）2-1个）n(x, y, z) = {3\over\pi} ((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 1)[ 0 ，2 ] × [ 0 ，2 ] × [ 0 ，2 ][0，2]×[0，2]×[0，2][0, 2] \times [0, 2] \times …

16 pde  convergence  fourier-analysis  poisson 

背景 我正在从液体理论中解决Ornstein-Zernike方程的一个变体。抽象地，该问题可以表示为解决不动点问题，其中是一个积分代数算子，而是解函数（OZ直接相关函数）。我正在通过Picard迭代进行求解，在这里我提供了初始试验解决方案并通过方案生成了新的试验解决方案 其中是一个可调参数，用于控制和的混合甲Ç （[R ）Ç 0（[R ）ç Ĵ + 1 = α （甲Ç Ĵ）+ （1 - α ）Ç Ĵ，α Ç 甲Ç α ε Δ Ĵ + 1＆equiv; ∫ d → [R | c j + 1（Ac(r)=c(r)Ac(r)=c(r)A c(r)=c(r)AAAc(r)c(r)c(r)c0(r)c0(r)c_0(r)cj+1=α(Acj)+(1−α)cj ,cj+1=α(Acj)+(1−α)cj , c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~, αα\alphacccAcAcAc在下一个试用解决方案中使用。对于此讨论，我们假设的值不重要。我重复直到迭代收敛到期望的公差： 在我的问题变体中，取决于参数，而我的问题是关于的收敛性如何取决于此参数。αα\alphaϵϵ\epsilon甲λ 甲Ç = …

13 iterative-method  convergence 

假设我有以下有趣的函数： 它具有一些令人不愉快的特性，例如其导数在有理倍数下不是连续的。我怀疑不存在封闭表格。πF（x ）= ∑ķ ≥ 1cosķ Xķ2（2 - cosk x ）。f(x)=∑k≥1cos⁡kxk2(2−cos⁡kx). f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}. ππ\pi 我可以通过计算部分和并使用Richardson外推法对其进行计算，但是问题是，将函数计算为足够的十进制数字太慢（例如100会很好）。 有没有一种方法可以更好地处理此功能？ 这是带有一些伪像的：f′(πx)f′(πx)f'(\pi x)

13 convergence  extrapolation 

根据维基百科，收敛速度表示为矢量规范的特定比率。我试图了解在不同时间点（基本上是在迭代的“开始”和“结束”）“线性”速率和“二次”速率之间的差异。可以这样说： ek+1ek+1e_{k+1}xk+1xk+1x_{k+1}∥ek∥‖ek‖\|e_k\| 通过二次收敛，迭代的误差的范数以为边界ek+1ek+1e_{k+1}xk+1xk+1x_{k+1}∥ek∥2‖ek‖2\|e_k\|^2 这种解释将意味着，在线性收敛算法A1的迭代次数很少（假设为随机初始化）的情况下，与二次收敛算法A2的迭代次数很少相比，将实现较小的误差。但是，由于误差减小了，并且由于平方，所以以后进行迭代将意味着A2的误差较小。 以上解释有效吗？注意，它忽略了速率系数。λλ\lambda

13 iterative-method  convergence 

我正在尝试为变量和x 2（所有其他都是常数）求解以下方程组：P,x1P,x1P,x_1x2x2x_2 A(1−P)2−k1x1=0AP2−k2x2=0(1−P)(r1+x1)4L1−P(r1+x2)4L2=0A(1−P)2−k1x1=0AP2−k2x2=0(1−P)(r1+x1)4L1−P(r1+x2)4L2=0\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0 我可以看到，通过分别针对x 1和x 2求解方程1和2 并将其代入方程3 ，可以将该方程组变成单个变量的单个方程。使用matlab的命令找到解决方案。使用参数k 1 = k 2 = 1，r 1 = r 2 = 0.2和A = 2，我发现真正的解是P = x 1 = x(P)(P)(P)x1x1x_1x2x2x_2fzerok1=k2=1k1=k2=1k_1=k_2=1r1=r2=0.2r1=r2=0.2r_1=r_2=0.2A=2A=2A=2。P=x1=x2=0.5P=x1=x2=0.5P=x_1=x_2=0.5 但是，当我将牛顿法应用于原始的3变量-3方程组时，无论我从多接近真实的解，迭代都不会收敛到解。）= （0.5 ，0.5 ，0.5 ）。 x∗=(P∗,x∗1,x∗2)=(0.5,0.5,0.5)x∗=(P∗,x1∗,x2∗)=(0.5,0.5,0.5)x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5) 起初，我怀疑我在牛顿方法的实现中存在错误。经过几次检查，我没有发现错误。然后我尝试使用初始猜测，lo＆瞧：雅可比行列是奇异的。我知道奇异的jacobian可以减少收敛的顺序，但是我认为它不一定会阻止收敛到真正的解决方案。 x0=x∗x0=x∗x_0=x^* 因此，我的问题是，鉴于系统在真正的解决方案中的雅可比是单数的： 要证明牛顿法不会收敛到根，还需要其他什么条件？ 全球化策略（例如线搜索）是否可以确保融合，尽管雅各布奇异？

12 optimization  convergence  newton-method 

在计算科学中，我们经常遇到大型线性系统，我们需要通过某些（有效的）手段（例如，直接方法或迭代方法）对其进行求解。如果我们专注于后者，那么在实践中如何确定求解大型线性系统的迭代方法是收敛的？ 显然，我们可以进行反复试验分析（请参阅为什么我的迭代线性求解器不收敛？），并依靠可以通过证明保证收敛或具有良好经验基础的迭代方法（例如CG和GMRES等Krylov子空间方法）分别用于对称和非对称系统）。 但是，在实践中如何建立融合？怎么办？

11 linear-algebra  iterative-method  convergence  krylov-method 

我想知道哪个经典线性解算器（例如高斯-塞德尔，雅可比，SOR）被保证收敛的问题，其中阿为正半定，当然b ∈ 我中号（甲）甲X = bAx=bAx=b一个AAb ∈ 我米（甲）b∈im(A)b \in im(A) （注意是半确定的，不是确定的）一个AA

10 linear-algebra  iterative-method  convergence  linear-solver 

我开始从网站上提供的Cavity教程中学习OpenFOAM 。当尝试使用不同的雷诺数时，在“ 2.1.8.2运行代码”一节中，教程说要重新运行求解器，因为“增加求解时间很明智”。但是当我这样做时，我发现库兰特数低（0.2）和高（0.6）的腔内流量之间没有任何区别。 我如何知道是否需要重新运行模拟？

10 software  fluid-dynamics  convergence  openfoam 

在求解时间独立电子Schroedinger方程的Hartree-Fock自洽场方法中，相对于自旋的选择，我们力求最小场电子系统的基态能量轨道。 { χ 我 }E0E0E_{0}{χi}{χi}\{\chi_{i}\} 我们通过迭代求解1电子Hartree-Fock方程 ，其中是电子的自旋/空间坐标，是轨道特征值，是Fock算子（1电子算子） ，格式为 （求和遍及原子核，这里是原子核A上的核电荷，而是原子核上的核电荷）电子和原子核之间的距离。X我我ε ˚F我 ˚F我=-1F^一世χ （x一世）= ε χ （X一世）f^iχ(xi)=εχ(xi)\hat{f}_{i}\chi(\mathbf{x}_{i})=\varepsilon\chi(\mathbf{x}_{i})X一世xi\mathbf{x}_{i}一世iiεε\varepsilonf^if^i\hat{f}_{i} Ž甲ř我甲我甲V ħ ˚F我我V ħ ˚F我 χĴf^i=−12∇2i−∑A=1MZAriA+VHFif^i=−12∇i2−∑A=1MZAriA+ViHF\hat{f}_{i} = -\frac{1}{2}\nabla^{2}_{i}-\sum_{A=1}^{M}\frac{Z_{A}}{r_{iA}}+V^{\mathrm{HF}}_{i}ZAZAZ_{A}riAriAr_{iA}iiiAAAVHFiViHFV^{\mathrm{HF}}_{i}是电子由于系统中所有其他电子而感受到的平均电势。由于依赖于其他电子的自旋轨道，因此可以说Fock算子依赖于其本征函数。在A. Szabo和N. Ostlund，第54页（第一版）的“现代量子化学”中，他们写道“ Hartree-Fock方程（2.52）是非线性的，必须迭代求解”。我已经研究了此迭代解决方案的细节，这是我研究的一部分，但是对于这个问题，我认为它们并不重要，除了陈述该方法的基本结构是：iiiVHFiViHFV_{i}^{\mathrm{HF}}χjχj\chi_{j} 初步自旋轨道并计算。V ħ ˚F我{χi}{χi}\{\chi_{i}\}VHFiViHFV_{i}^{\mathrm{HF}} 对这些自旋轨道求解上面的特征值方程，并获得新的自旋轨道。 对新的自旋轨道重复此过程，直到达到自洽。 在这种情况下，当用于使的自旋轨道与求解特征值方程时所获得的自旋轨道相同时，就实现了自洽。VHFiViHFV_{i}^{\mathrm{HF}} 我的问题是：我们如何知道这种融合将会发生？为什么连续迭代解的本征函数在某种意义上会“趋向于”收敛的情况？解决方案是否可能会分歧？我不知道如何防止这种情况。 作为另一个问题，我想知道为什么会聚的本征函数（自旋轨道）会提供最佳（即最低）基态能量。在我看来，该方程的迭代解在某种程度上具有“内置”收敛性和能量最小化。也许方程中内置了一些约束来确保收敛？ 从Physics Stack Exchange交叉发布：https：//physics.stackexchange.com/q/20703/why-does-iteratively-solving-the-hartree-fock-equations-result-in-convergence

10 computational-chemistry  iterative-method  convergence  hartree-fock 

众所周知，当开始猜测“足够接近”解时，牛顿求解非线性方程的方法会二次收敛。 什么是“足够接近”？ 是否有关于该吸引力盆地结构的文献？

9 iterative-method  convergence  nonlinear-equations 

我知道分段线性有限元逼近 uhuhu_h 的 Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U 满足 ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} 假设足够光滑并且。UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) 问题：如果，我们是否有以下类似的估计，其中两侧都取了一个导数： f∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)∥u−uh∥L2(U)≤Ch∥f∥H−1(U)?‖u−uh‖L2(U)≤Ch‖f‖H−1个(ü）？ \|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad? 你能提供参考吗？ 思想：由于我们仍有，因此应该有可能在获得收敛。直观地讲，这甚至可以使用分段常数函数。ü ∈H1个0（U）ü∈H01个（ü）u\in H^1_0(U)大号2（U）大号2（ü）L^2(U)

9 finite-element  pde  reference-request  convergence  elliptic-pde 

考虑一下，您在无穷维Hilbert或Banach空间中有问题（例如PDE或此类空间中的优化问题），并且您有一种算法难以收敛到解决方案。如果您离散化问题并将相应的离散化算法应用于问题，则弱收敛是每个坐标的收敛，因此也很强。我的问题是： 这种强收敛与从原始无穷算法的良好旧平原强收敛获得的收敛有什么区别？ 或者，更具体： “离散的弱收敛方法”会发生什么样的不良行为？ 当我只能证明收敛性较弱时，我自己通常不太高兴，但是到目前为止，即使我将离散化问题扩展到更高维度，我仍然无法观察到方法结果的问题。 请注意，我对“首先离散化而不是优化”与“首先优化而不是离散化”问题不感兴趣，并且我知道如果将算法应用于不与该问题共享所有属性的离散化问题，则会出现问题针对该算法而设计的。 更新：作为一个具体示例，请考虑一个变量存在的优化问题大号2大号2L^2并用（惯性）前后分裂之类的方法求解，或者只知道弱收敛性的其他方法。对于离散化问题，可以使用相同的方法，如果直接离散化算法，则使用正确的离散化可以得到相同的算法。提高离散化精度会出什么问题？大号2大号2L^2

9 algorithms  convergence