Questions tagged «finite-difference»

指导数通过有限差分进行离散化及其在偏微分方程数值解中的应用。

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差异有限的实体力学：如何处理“角节点”？
我有一个关于编码固体力学边界条件（线性弹性）的问题。在特殊情况下，我必须使用有限差分（3D）。我对这个话题非常陌生，因此以下一些问题可能非常基础。 为了导致我的特定问题，首先，我想展示一下我已经实现的内容（为清楚起见，我将仅使用2D）。 1.）我有下列离散div(σ)=0div(σ)=0div(\sigma) = 0，表示发散的第一组分∂σxx∂x+∂σxy∂y=0∂σxx∂x+∂σxy∂y=0\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0： 我使用非交错网格，因此Ux和Uy定义在同一位置。 2.）下一步是处理边界，在这里我使用“鬼节点”。根据σ∙n=t∗σ∙n=t∗\sigma \bullet n = t^*，其中t∗t∗t^*是边界上的应力。 (λ+2μ)∂Ux∂x+λ∂Uy∂y=σ∗xx(λ+2μ)∂Ux∂x+λ∂Uy∂y=σxx∗(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*σ∗xxσxx∗\sigma_{xx}^* μ∂Ux∂y+μ∂Uy∂x=σ∗xyμ∂Ux∂y+μ∂Uy∂x=σxy∗\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*σ∗xyσxy∗\sigma_{xy}^* 3.）我认为到目前为止，我的所有步骤似乎都是合乎逻辑的，如果没有，请纠正我。但是现在还有“角节点”，我不知道如何处理它们。 div(σ)=0div(σ)=0div(\sigma) = 0 所以我的问题是处理这些“角节点”的正确方法是什么？我为每个想法感到高兴。
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如何提高找到奇异线性ODE本征系统的有限差分方法的精度
我正在尝试求解以下类型的方程： （ - ∂2∂X2- ˚F（X ）） ψ（X）=λψ（X）（-∂2∂X2-F（X））ψ（X）=λψ（X） \left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x) 其中F（x ）F（X）f(x)具有一个简单的极，对最小特征向量。边界条件是：和，而我只看上的函数。Ñ ψ （0 ）= 0 ψ （[R ）= 0 （0 ，- [R ]000ññNψ （0 ）= 0ψ（0）=0\psi(0) = 0ψ （R ）= 0ψ（[R）=0\psi(R)=0（0 ，R ]（0，[R](0,R] 但是，如果我执行一种非常简单的，均匀分布的有限差分方法，则最小特征值是非常不准确的（有时，“错误”特征值的负数比我所知道的负数个数个数量级大， “第一个特征值”成为第二个，但仍然很差。 什么因素会影响这种有限差分方案的准确性？我认为奇异性是导致问题的原因，并且间距不均匀的网格会显着改善问题，是否有任何论文可以使我朝着好的非均匀有限差分法发展？但是也许更高阶的差分方案会进一步改善它？您如何决定（或者只是“试着看看”） 注意：我的有限差分方案是对称三对角线，其中3个对角线是： （ − 12 Δ2，1个Δ2- ˚F（x …
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具有不规则边界的域的有限差异
谁能帮助我找到有关泊松数值解（有限差分法和Crank-Nicolson方法）的书，以及包括不规则几何体（例如，由矩形和圆形之间的区域组成的区域）的扩散方程（尤其是书本或链接）在这种情况下的MATLAB代码示例）？
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在Matlab中实现最佳运输翘曲
我正在实施“ 注册和翘曲的最佳大众运输 ”一文，我的目标是将其联机，因为我只是在网上找不到任何欧拉大众运输代码，这至少对于图像处理领域的研究界很有意义。 论文可以总结如下： - 使用沿x和y坐标的一维直方图匹配找到初始图 求解，其中u ^ \ perp代表逆时针旋转90度，\ triangle ^ {-1}表示具有Dirichlet边界条件（= 0）的泊松方程的解，和都是雅可比矩阵的行列式。 -保证了时间步长dt &lt;\ min | \ frac {1} {\ mu_0} \ nabla ^ \ perp \ triangle ^ {-1} div（u ^ \ perp）|的稳定性。uuuut=1μ0Du∇⊥△−1div(u⊥)ut=1μ0Du∇⊥△−1div(u⊥)u_t = \frac{1}{\mu_0} Du \nabla^\perp\triangle^{-1}div(u^\perp)u⊥u⊥u^\perp△−1△−1\triangle^{-1}DuDuDudt&lt;min|1μ0∇⊥△−1div(u⊥)|dt&lt;min|1μ0∇⊥△−1div(u⊥)|dt<\min|\frac{1}{\mu_0}\nabla^\perp\triangle^{-1}div(u^\perp)| 对于数值模拟（在常规网格上执行），他们表示使用matlab的poicalc求解泊松方程，他们使用空间有限导数的中心有限差分，但使用逆风方案计算的Du除外DuDuDu。 使用我的代码，映射的能量函数和卷曲适当减小了几次迭代（取决于时间步长，从几十到几千）。但是在那之后，模拟爆炸：能量增加，只需很少的迭代即可达到NAN。我尝试了几个阶数的微分和积分（可以在这里找到cumptrapz的高阶替换项）以及不同的插值方案，但是我总是遇到相同的问题（即使在非常平滑的图像上，各处也不为零等）。 有人会对我所面对的代码和/或理论问题感兴趣吗？代码很短。 具有调试功能的代码 登记功能 测试代码，前提是您要注册两张相同大小的图像 只是必要的功能，没有测试内容（&lt;100行） 请在最后用gradient（）替换gradient2（）。这是一个高阶梯度，但也不能解决问题。 我现在只对本文的最佳运输部分感兴趣，而不对附加的正则化术语感兴趣。 谢谢 …
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Crank-Nicolson离散化是否维持了热方程的最大/最小原理？
我正在使用Crank-Nicolson有限差分方案来求解一维热方程。我想知道热方程的最大/最小原理（即最大/最小发生在初始条件还是边界上）是否也适用于离散解。 Crank-Nicolson是一个稳定且收敛的方案，这可能暗示了这一点。但是，您似乎可以使用Crank-Nicolson模具创建的矩阵通过线性代数参数直接证明这一点。 我将不胜感激任何与此有关的文献资料。谢谢。
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“波动方程”的有限差分方案，特征方法
考虑以下问题 Wuv=FWuv=F W_{uv} = F ，其中强迫项可以取决于（有关公式，请参见下面的Edit 1）以及及其一阶导数。这是一个1 + 1维波动方程。我们在指定了初始数据。u,vu,vu,vWWW{u+v=0}{u+v=0}\{u+v = 0\} 我对区间的依赖范围内的解决方案感兴趣， 并正在考虑以下有限差分方案。{u+v=0,u∈[−uM,uM]}{u+v=0,u∈[−uM,uM]}\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\} 我们的目标是发展由和类似。该方案在因此我可以通过向上积分从初始数据中一致地计算；因此，我只需要真正查看和的演化方程。WuWuW_uWu(u,v+1)−Wu(u,v)=F(u,v)Wu(u,v+1)−Wu(u,v)=F(u,v)W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)Wv(u+1,v)−Wv(u,v)=F(u,v)Wv(u+1,v)−Wv(u,v)=F(u,v)W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)W(u,v)+Wu(u,v)+Wv(u+1,v)=W(u+1,v+1)=W(u,v)+Wv(u,v)+Wu(u,v+1)W(u,v)+Wu(u,v)+Wv(u+1,v)=W(u+1,v+1)=W(u,v)+Wv(u,v)+Wu(u,v+1) W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)WWWWvWvW_vWuWuW_u 对于初始数据，我们需要兼容条件。这表明我可以通过在初始时间使用的前向（in）有限差分来计算初始数据，并在半整数点处给定的值。Wu(u,v)−Wv(u+1,v−1)=W(u+1,v−1)−W(u,v)Wu(u,v)−Wv(u+1,v−1)=W(u+1,v−1)−W(u,v)W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)uuuWWWWtWtW_t(u+0.5,v−0.5)(u+0.5,v−0.5)(u+0.5,v-0.5) 问题： …
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关于非线性有限差分方程，冯·诺依曼的稳定性分析告诉我们什么？
我正在阅读一篇论文[1]，他们在其中解决了以下非线性方程 ut+ux+uux−uxxt=0ut+ux+uux−uxxt=0\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation} 使用有限差分法。他们还使用冯·诺依曼的稳定性分析来分析方案的稳定性。但是，正如作者意识到的那样，这仅适用于线性PDE。因此，作者通过“冻结”非线性项来解决此问题，即他们替换了非线性项。uuxuuxuu_x 与 UuxUuxUu_x，在哪里 UUU “被认为代表了 uuu”。 所以我的问题有两个： 1：如何解释此方法，为什么不起作用？ 2：我们也可以更换 uuxuuxuu_x 与 uUxuUxuU_x 学期 UxUxU_x “被认为代表了 uxuxu_x“？ 参考文献 Eilbeck，JC和GR McGuire。“正则化长波方程的数值研究I：数值方法。” Journal of Computational Physics 19.1（1975）：43-57。
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机器学习在计算流体动力学中的应用
背景： 对于一门课程，我仅为2d Navier-Stokes建立了一个可行的数值解决方案。这是盖子驱动型腔流动的解决方案。但是，本课程讨论了用于空间离散化和时间离散化的许多模式。我还参加了更多关于NS的符号操作课程。 处理解析/符号方程从PDE到有限差分的一些数值方法包括： 欧拉FTFS，FTCS，BTCS 松懈 中点跳蛙 Lax-Wendroff 麦克科马克 偏移网格（空间扩散允许信息传播） TVD 在我看来，当时这些似乎是“插入名称找到了一个方案并且它确实起作用了”。其中许多来自“大量硅”时代之前。它们都是近似值。在极限中。从理论上讲，导致了PDE。 虽然直接数值模拟（DNS）很有趣，而且雷诺平均Navier-Stokes（RANS）也很有趣，但它们是计算上易于理解并完全表示现象之间连续体的两个“端点”。内部存在多种方法。 我曾让CFD教授在演讲中说，大多数CFD求解器会绘制漂亮的图片，但是在大多数情况下，这些图片并不代表现实，要获得能够解决问题的求解器解决方案可能会非常艰巨且需要大量工作确实代表了现实。 开发的顺序（据我所知，并不详尽）是： 从控制方程开始-&gt; PDE的 确定您的空间和时间离散化-&gt;网格和FD规则 适用于包括初始条件和边界条件的领域 求解（矩阵求逆上有很多变化） 执行总体现实检查，以适合已知解决方案等。 根据分析结果建立一些更简单的物理模型 测试，分析和评估 迭代（跳回到步骤6、3或2） 想法： 我最近一直在使用CART模型，倾斜树，随机森林和渐变增强树。它们遵循更多的数学推导规则，而数学则驱动树的形状。他们努力使离散化的表格变得更好。 尽管这些人为创建的数值方法有些奏效，但仍需要大量的“伏都教”以将其结果与要建模的物理现象联系起来。通常，模拟并不能完全替代实际测试和验证。容易使用错误的参数，或者无法解决实际环境中几何形状或应用程序参数的变化。 问题： 是否有任何方法可以让问题的性质定义 适当的离散化，时空差分方案，初始条件或解决方案？ 高清晰度解决方案与机器学习技术相结合，是否可以用于形成步长更大但保持收敛性，准确性等的差分方案？ 所有这些方案都是可访问的“人类易处理的派生”-它们具有少量要素。是否有一个包含数千个元素的差异化方案能做得更好？它是如何衍生的？ 注意：我将在一个单独的问题中继续进行经验初始化和经验推导（相对于分析而言）。 更新： 利用深度学习来加速格子玻尔兹曼流。使特定情况的速度提高约9倍 O. Hennigh（新闻中）。Lat-Net：使用深度神经网络的压缩格子Boltzmann流动模拟。取自：https : //arxiv.org/pdf/1705.09036.pdf 使用代码回购（我认为）：https : //github.com/loliverhennigh/Phy-Net 与GPU和相同的硬件相比，它比GPU快大约2个数量级，比GPU快4个数量级，或快大约O（10,000x）。 Guo，X.，Li，W.＆Ioiro，F.用于稳定流逼近的卷积神经网络。取自：https : //autodeskresearch.com/publications/convolutional-neural-networks-steady-flow-approximation 大约20年前研究过该主题的其他人： Muller，S.，Milano，M.和Koumoutsakos P.机器学习算法在流建模和优化中的应用 湍流研究中心年度研究摘要1999摘自：https …
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与不对称矩阵相比，求解对称矩阵有任何数值优势吗？
我正在将有限差分方法应用于3个耦合方程组。两个方程式不耦合，但是第三个方程式与另外两个方程式耦合。我注意到，通过将方程式的顺序从更改为，系数矩阵变得对称。(x,y,z)(x,y,z)(x, y, z)(x,z,y)(x,z,y)(x, z, y) 这样做有什么好处吗？例如，就解决方案的稳定性或效率/速度而言。矩阵非常稀疏，如果这很重要，则非零项沿中心对角线。
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如何近似一个大矩阵的条件数？
如果是傅里叶变换（非均匀或均匀），有限差分和对角矩阵的组合，我如何近似大矩阵的条件数？GGGGGGFFFRRRSSS 矩阵很大，不存储在内存中，只能作为函数使用。 特别是，我有以下矩阵： Gμ=SHFHFS+μRHRGμ=SHFHFS+μRHRG_\mu=S^HF^HFS+\mu R^HR 我想研究和条件数之间的关系。μμ\muk(Gμ)k(Gμ)k(G_\mu) 我假设有人需要某种迭代方法？最好会有一些MATLAB代码。
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如何在一维对流方程的数值解中得出杂散振荡的界？
假设我遇到以下周期性一维平流问题： ∂ü∂Ť+ c∂ü∂X= 0∂ü∂Ť+C∂ü∂X=0\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0 在 Ω = [ 0 ，1 ]Ω=[0，1个]\Omega=[0,1] u （0 ，t ）= u （1 ，t ）ü（0，Ť）=ü（1个，Ť）u(0,t)=u(1,t) u （x ，0 ）= g（x ）ü（X，0）=G（X）u(x,0)=g(x) 哪里 G（x ）G（X）g(x) 在处有跳跃间断 X∗∈ （0 ，1 ）X∗∈（0，1个）x^*\in (0,1)。 我的理解是，对于高于一阶的线性有限差分方案，随着时间的推移，不连续附近会出现虚假振荡，随着时间的流逝，会导致解因其预期的波形而失真。根据维基百科的解释，似乎这些振荡通常发生在用有限傅立叶级数近似不连续函数时。 由于某些原因，我似乎无法理解如何在此PDE的解决方案中观察到有限傅立叶级数。特别是，我如何分析地估计“超调”的界限？
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