Questions tagged «random-variable»

我碰到这种推导，我不明白：如果X1,X2,...,XnX1,X2,...,XnX_1, X_2, ..., X_n是大小的随机样本n的平均值的人口采取μμ\mu和方差σ2σ2\sigma^2，那么 X¯=(X1+X2+...+Xn)/nX¯=(X1+X2+...+Xn)/n\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n E(X¯)=E(X1+X2+...+Xn)/n=(1/n)(E(X1)+E(X2)+...+E(Xn))E(X¯)=E(X1+X2+...+Xn)/n=(1/n)(E(X1)+E(X2)+...+E(Xn))E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n)) E(X¯)=(1/n)(μ+μ+...n times)=μE(X¯)=(1/n)(μ+μ+...n times)=μE(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu 这是我迷路的地方。使用的自变量为E(Xi)=μE(Xi)=μE(X_i) = \mu因为它们的分布相同。实际上这不是事实。假设我有一个样品，S={1,2,3,4,5,6}S={1,2,3,4,5,6}S=\{1,2,3,4,5,6\}，然后，如果随机地选择2号与替换，并重复此过程10次，然后我得到10个样品：（5,4）（2 ，5）（1，2）（4，1）（4，6）（2，4）（6，1）（2，4）（3，1）（5，1）。这是2个随机变量样子X1,X2X1,X2X_1, X_2。现在，如果我将期望值X1X1X_1我明白了 E(X1)=1.(1/10)+2.(3/10)+3.(1/10)+4.(2/10)+5.(2/10)+6.(1/10)=34/10=3.4E(X1)=1.(1/10)+2.(3/10)+3.(1/10)+4.(2/10)+5.(2/10)+6.(1/10)=34/10=3.4E(X_1) = 1.(1/10) …

10 random-variable  expected-value  mean  iid 

证明/否定E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. ⇒E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. ⇒E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} 给定已过滤的概率空间(Ω,F,{Fn}n∈N,P)(Ω,F,{Fn}n∈N,P)(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})，令A∈FA∈FA \in \mathscr{F}。 假设∃t∈N s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.∃t∈N s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.\exists t \in \mathbb{N} …

10 probability  conditional-probability  random-variable  filter 

我的教科书中的一个问题如下。二维随机连续向量具有以下密度函数： fX,Y(x,y)={15xy20if 0 &lt; x &lt; 1 and 0 &lt; y &lt; xotherwisefX,Y(x,y)={15xy2if 0 &lt; x &lt; 1 and 0 &lt; y &lt; x0otherwise f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases} 证明边际密度函数和为：fXfXf_XfYfYf_Y fX(x)={5x40if 0 &lt; x &lt; …

10 self-study  random-variable  marginal  joint-distribution 

您经常会在研究文章中看到研究人员已经控制了某些变量。这可以通过诸如匹配，阻止等方法来完成。 但是我一直认为，控制变量是通过测量几个可能具有影响力的变量并对其进行一些统计分析而在统计上完成的，这可以在真实和准实验中完成。因此，例如，您将进行一项调查或其他测试，在其中您将测量自变量和一些可能混淆的变量并进行一些分析。 在准实验中可以控制变量吗？ 变量匹配和统计控制等方法之间的联系是什么？

10 experiment-design  random-variable  controlling-for-a-variable 

设和为两个独立的随机变量，它们具有相同的均匀分布且密度相同XXXÿÿYU（0 ，1)U(0,1个）U(0,1) F(x)=1f(x)=1f(x)=1如果（其他位置为），则。0≤x≤10≤x≤10≤x≤1000 令为定义为的真实随机变量：ZZZ Z=X−YZ=X−YZ=X-Y如果（在其他位置为），则。X&gt;YX&gt;YX>Y000 推导的分布。ZZZ 计算期望值和方差。E(Z)E(Z)E(Z)V(Z)V(Z)V(Z)

10 self-study  random-variable 

我有一个疑问：考虑实值随机变量和无论在概率空间定义。XXXZZZ(Ω,F,P)(Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) 令，其中是实值函数。由于是随机变量的函数，因此它是随机变量。Y:=g(X,Z)Y:=g(X,Z)Y:= g(X,Z)g(⋅)g(⋅)g(\cdot)YYY 令即的实现。x:=X(ω)x:=X(ω)x:=X(\omega)XXX 是等于？P(Y|X=x)=P(g(X,Z)|X=x)P(Y|X=x)=P(g(X,Z)|X=x)\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)P(g(x,Z))P(g(x,Z))\mathbb{P}(g(x,Z))

10 probability  random-variable 

假设X1X1X_1和X2X2X_2是具有参数ppp独立几何随机变量。什么是概率X1≥X2X1≥X2X_1 \geq X_2？ 我对这个问题感到困惑，因为除了X1X1X_1和X2X2X_2是几何图形之外，我们什么都没告诉。这不是50%50%50\%因为X1X1X_1和X2X2X_2可以在该范围内吗？ 编辑：新尝试 P(X1≥X2)=P(X1&gt;X2)+P(X1=X2)P(X1≥X2)=P(X1&gt;X2)+P(X1=X2)P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2) P(X1=X2)P(X1=X2)P(X1 = X2) =∑x∑x\sum_{x} (1−p)x−1p(1−p)x−1p(1−p)x−1p(1−p)x−1p(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p =p2−pp2−p\frac{p}{2-p} P(X1&gt;X2)P(X1&gt;X2)P(X1 > X2) = P(X1&lt;X2)P(X1&lt;X2)P(X1 < X2)和P(X1&lt;X2)+P(X1&gt;X2)+P(X1=X2)=1P(X1&lt;X2)+P(X1&gt;X2)+P(X1=X2)=1P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1 因此，P(X1&gt;X2)P(X1&gt;X2)P(X1 > X2) = 1−P(X1=X2)21−P(X1=X2)2\frac{1-P(X1 = X2)}{2} =1−p2−p1−p2−p\frac{1-p}{2-p}添加P(X1=X2)=p2−pP(X1=X2)=p2−pP(X1 = …

9 self-study  random-variable  geometric-distribution 

是否有可能使两个iid rv的差异的PDF看起来像一个矩形（而不是说，如果rv取自均匀分布，则得到的三角形）。 也就是说，对于所有-1 &lt;x &lt;1，jk的PDF f（对于从某个分布中提取的两个iid rv）是否有f（x）= 0.5？ 除j和k的分布没有限制外，最小值为-1且最大值为1。 经过一些试验，我认为这可能是不可能的。

9 random-variable  pdf  iid 

pdf通常写为，其中小写字母被视为具有该pdf 的随机变量的实现或结果。类似地，cdf被写为，其含义为。但是，在某些情况下，例如评分函数的定义以及cdf是均匀分布的推导，似乎随机变量插入了它自己的pdf / cdf中。这样，我们得到一个新的随机变量或x X F X（x ）P （X &lt; x ）X Y = f （X | θ ）Z = F X（X ）F X（X ）= P （X &lt; X ）F（x | θ ）f(x|θ)f(x|\theta)XxxXXXFX（x ）FX(x)F_X(x)P（X&lt; x ）P(X&lt;x)P(X<x)XXX ÿ= f（X| θ）Y=f(X|θ)Y=f(X|\theta)ž= FX（X）Z=FX(X)Z=F_X(X)。我不认为我们可以再称它为pdf或cdf，因为它现在本身就是一个随机变量，在后一种情况下，“解释”对我来说似乎是胡说八道。FX（X）= P（X&lt; X）FX(X)=P(X&lt;X)F_X(X)=P(X<X) 此外，在上述后一种情况下，我不确定我是否理解“随机变量的cdf遵循均匀分布”的说法。cdf是函数，不是随机变量，因此没有分布。相反，具有均匀分布的是使用代表其自己的cdf的函数转换的随机变量，但是我不明白为什么这种转换有意义。评分函数也是如此，在评分函数中，我们将一个随机变量插入表示其自己的对数似然性的函数中。 数周以来，我一直在拼搏，试图在这些转变背后找到一种直观的含义，但我被困住了。任何见识将不胜感激！

9 random-variable  pdf  cdf  intuition 

如果，则找到。X∼C(0,1)X∼C(0,1)X\sim\mathcal C(0,1)Y=2X1−X2Y=2X1−X2Y=\frac{2X}{1-X^2} 我们有FY(y)=Pr(Y≤y)FY(y)=Pr(Y≤y)F_Y(y)=\mathrm{Pr}(Y\le y) =Pr(2X1−X2≤y)=Pr(2X1−X2≤y)\qquad\qquad\qquad=\mathrm{Pr}\left(\frac{2X}{1-X^2}\le y\right) =⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪Pr(X∈(−∞,−1−1+y2√y])+Pr(X∈(−1,−1+1+y2√y]),ify&gt;0Pr(X∈(−1,−1+1+y2√y])+Pr(X∈(1,−1−1+y2√y]),ify&lt;0={Pr(X∈(−∞,−1−1+y2y])+Pr(X∈(−1,−1+1+y2y]),ify&gt;0Pr(X∈(−1,−1+1+y2y])+Pr(X∈(1,−1−1+y2y]),ify&lt;0\qquad\qquad=\begin{cases} \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y>0\\ \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(1,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y<0 \end{cases} 我不知道上述区分大小写是否正确。 另一方面，以下似乎是一个更简单的方法： 我们可以使用身份来写Y=tan(2tan−1X)Y=tan⁡(2tan−1⁡X)Y=\tan(2\tan^{-1}X)2tanz1−tan2z=tan2z2tan⁡z1−tan2⁡z=tan⁡2z\frac{2\tan z}{1-\tan^2z}=\tan 2z 现在，X∼C(0,1)⟹tan−1X∼R(−π2,π2)X∼C(0,1)⟹tan−1⁡X∼R(−π2,π2)X\sim\mathcal C(0,1)\implies\tan^{-1}X\sim\mathcal R\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) ⟹2tan−1X∼R(−π,π)⟹2tan−1⁡X∼R(−π,π)\qquad\qquad\qquad\quad\implies 2\tan^{-1}X\sim\mathcal R(-\pi,\pi) ⟹tan(2tan−1X)∼C(0,1)⟹tan⁡(2tan−1⁡X)∼C(0,1)\qquad\qquad\qquad\quad\implies\tan\left(2\tan^{-1}X\right)\sim\mathcal C(0,1)，最后一个是2对1转换。 但是如果要求我从定义中得出的分布，我想第一种方法就是如何进行。计算有点混乱，但是我得出正确的结论吗？也欢迎任何其他解决方案。YYY Johnson-Kotz-Balakrishnan的连续单变量分布（Vol.1）突出了柯西分布的这一特性。事实证明，这只是一般结果的特例。

9 self-study  distributions  mathematical-statistics  random-variable 

让XiXiX_i BE IID和X¯=∑ni=1XiX¯=∑i=1nXi\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i。 E[XiX¯]= ?E[XiX¯]= ? E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ? 似乎很明显，但是我在正式推导它时遇到了麻烦。

9 probability  random-variable  expected-value 

不暗示和独立性？X YCov(f(X),Y)=0∀f(.)Cov(f(X),Y)=0∀f(.)\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)XXXYYY 我只熟悉以下和之间的独立性定义。ÿXXXYYY fx,y(x,y)=fx(x)fy(y)fx,y(x,y)=fx(x)fy(y） f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)

9 random-variable  independence 

好吧，我们无法看到 有趣的反例，例如https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence。但是真正的问题是：是否有某种方法可以加强这种状况，从而使独立性得以遵循？例如，有一些组的功能使得如果对于所有然后独立如下？而且，这样的函数集必须有多大？E g i（X ）g j（Y ）= E g i（X ）E g j（Y ）i ，jG1个，… ，gñg1,…,gng_1, \dotsc, g_nËG一世（X）克Ĵ（是）= EG一世（X）EGĴ（是）E⁡gi(X)gj(Y)=E⁡gi(X)E⁡gj(Y)\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)我，Ĵi,ji,j 而且，还有一些很好的参考资料可以解决这个问题吗？

9 probability  mathematical-statistics  references  random-variable  independence 

我试图找到随机分布的变量总数之和的概率分布。这是一个例子： 约翰在客户服务呼叫中心工作。他接到有问题的电话，并设法解决问题。他无法解决的问题，他将其转发给上级。假设他一天接到的电话数量遵循Poisson分布，平均值为。每个问题的难度从非常简单的东西（他绝对可以解决）到非常专业的问题（他都不知道如何解决）不等。假设他将能够解决第i个问题的概率p i遵循具有参数α和β的Beta分布，并且与先前的问题无关。他一天解决的电话数量分布如何？μμ\mup一世pip_iαα\alphaββ\beta 更正式地说，我有： 为我= 0 ，1 ，2 ，。。。，Nÿ= 我（N&gt; 0 ）∑ñ我= 0X一世Y=I(N&gt;0)∑i=0NXiY = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i我= 0 ，1 ，2 ，。。。，Ni=0,1,2,...,Ni = 0, 1, 2, ..., N 其中，（X 我| p 我）〜乙Ë ř Ñ Ò ù 升升我（p 我）和p 我〜乙Ë 吨一个（α ，β ）ñ〜P ø 我小号小号ø Ñ（μ ）N∼Poisson(μ)N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)（X一世| …

9 probability  distributions  random-variable 

我对构造Markov或Chebyshev不等式严密的随机变量感兴趣。 一个简单的示例是以下随机变量。 。其均值为0，方差为1，并且 P （| X | ≥ 1 ）= 1。对于这个随机变量，chebyshev是紧的（保持相等）。P（X= 1 ）=P（X=−1)=0.5P(X=1)=P(X=−1)=0.5P(X=1)=P(X=-1) = 0.5P(|X|≥1)=1P(|X|≥1)=1P(|X| \ge 1) = 1 P(|X|≥1)≤Var(X)12=1P(|X|≥1)≤Var(X)12=1P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1 是否存在马尔可夫和切比雪夫紧的其他有趣（非均匀）随机变量？一些例子将是很好的。

9 probability  distributions  random-variable  probability-inequalities