理论计算机科学

这个问题是Aadita Mehra提出的有关DNA算法的问题的后续。 Joe Fitzsimmons在评论中说： 为了避免这种情况，系统的半径必须与质量成比例。计算能力在质量上最多呈线性比例。因此，您的机械的指数数量具有指数半径。由于您无法以比光更快的速度发出信号，因此从一侧到另一侧的信号要花费指数级的时间才能到达另一侧，因此，如果所有的机械都有助于解决问题，那么不可能以小于指数的速度解决问题时间。 我的问题分为两个部分。 （1）形式化诸如“计算能力在质量上至多呈线性比例”之类的陈述的最佳方式是什么？这句话真的不值得辩论吗？ （2）假设陈述为真。即使这样，自然界是否已经进行了我们可能能够利用的指数级预处理，例如通过“蛮力随机化”的进化过程创建视觉系统。 我已经听到并阅读了许多此类问题的软（伪科学）答案，对于在此给出的任何答案，我将不胜感激，但我对如何重铸（1）和（2）最为感兴趣。在TCS严格要求下。

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我只是意识到我一直以为我的问题的答案是“是”，但我没有充分的理由。我想象也许有一个垃圾收集器，可证明只引入了最坏情况的减速。有没有我可以引用的权威参考文献？就我而言，如果这些细节很重要，那么我将使用纯功能数据结构，并使用Standard ML。O （1 ）O(1)O(1) 当应用于例如Java中指定的数据结构时，也许这个问题会更加相关？使用Java的算法/数据结构教科书中可能有一些相关的讨论？（我知道Sedgewick具有Java版本，但是我只能访问C版本。）

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前一阵子读完这个答案之后，我对完全同态加密产生了兴趣。看完Gentry的论文介绍后，我开始怀疑是否可以将他的加密方案用于第三段中定义的遗忘代码执行。 在完全同态加密方案中，我们通常对一些数据进行加密，然后将其发送到敌对环境中，在该环境中对数据进行某些功能的计算，然后将结果发送回（加密），而无需对手发现接收到的数据或函数的结果是。 在执行遗忘的代码的过程中，我的意思是我们对一段旨在解决某些问题的代码进行加密，并将其发送到敌对环境。对手想要使用来解决，但我们不希望他知道工作原理。如果他有一个输入为，他可以加密，然后使用（在某些加密方案）与，然后返回（未加密的）输出（的溶液为输入PCCCPPPP C I P I C I O P ICCCPPPCCCIIIPPPIIICCCIIIOOOPPPIII）。加密方案可确保对手永远不会发现这段代码是如何工作的，即对他而言，它就像甲骨文一样工作。 这种加密方案的主要实际用途（我能想到）将使盗版更加困难，甚至无法实现。 我认为使用完全同态的加密方案可能实现此目的的原因是，因为我们可以对加密数据执行任意电路，特别是通用图灵机。然后，我们可以像对待数据一样对代码进行加密，然后将通用图灵机的电路用于此加密数据上以执行代码。 我在这里提出一个问题，是因为我不知道这个想法是否有用：我对Gentry的论文介绍不多，而且我对密码学的知识是有限的。另外，我不知道是否存在一个经常使用的遗忘代码执行术语：我尝试在Google上搜索该想法，但不知道什么都找不到合适的术语。 我可以想到有多个问题，这些问题可能会导致此方法出现问题。首先，如果我们使用未经修改的完全同态加密，则将对计算结果（）进行加密。因此，对于希望使用您的代码来解决的对手将毫无用处。虽然这对于例如云计算仍然可能有用，但这不是我想要实现的目标。POOOPPP 其次，因为我们使用的是电路而不是任意的图灵机，所以我们不能使用任意数量的内存：我们只能使用预定数量的内存。这意味着，如果我们要以这种方式运行程序，则其内存占用量将始终相同，即峰值内存使用率。 最后，所涉及的常数几乎肯定会杀死这种系统的任何实际使用，但是我认为这个想法仍然很有趣。

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这个问题是关于二进制数的正态乘法与多项式乘法mod 2之间的关系。为了使这个问题具体化，我希望从Knuth vol。知道是否对该问题有更好的解决方案。2，第3版，比书中给出的第420页。 “如果将系数打包到计算机字中，可以通过使用二进制计算机上的普通算术运算来简化模2的多项式乘法。” Knuth给出了一个相当简单的减少量，在最坏的情况下，它通过对数乘数来扩展输入中的位数。可以减少这个对数因子吗？

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除了关系R的（确定性）通信复杂度 cc(R)cc(R）cc(R)，所需通信量的另一基本量度是协议分区号p p （R ）。这两个量度之间的关系是已知的，直到一个恒定因子为止。Kushilevitz和Nisan（1997）的专着给出了RRR pp(R)pp(R)pp(R) cc(R)/3≤log2(pp(R))≤cc(R).cc(R)/3≤log2⁡(pp(R))≤cc(R).cc(R)/3 \le \log_2(pp(R)) \le cc(R). 关于第二不等式，很容易得到（无限家族）关系与日志2（p p （[R ）） = C ^ C ^ （- [R ）。RRRlog2(pp(R))=cc(R)log2⁡(pp(R))=cc(R)\log_2(pp(R)) = cc(R) 关于第一个不等式，Doerr（1999）表明我们可以用c = 2.223代替第一个界限中的因子。如果有的话，第一个界限可以提高多少？ c=3c=3c=3c=2.223c=2.223c=2.223 描述复杂性的另一个：改进常数2.223将导致正则表达式的最小大小的下限得到改善，该下限等于给定DFA描述某种有限语言的正则表达式的最小大小，请参阅Gruber和Johannsen（2008）。 2.2232.2232.223 虽然不直接相关的这个问题，Kushilevitz，Linial和斯基（1999），获得了关系与Ç Ç （[R ）/（2 - Ö （1 ））≥ 日志2（[R p （[R ）），其中[R p （ř ）是矩形分区号。RRRcc(R)/(2−o(1))≥log2(rp(R))cc(R)/(2−o(1))≥log2⁡(rp(R))cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))rp(R)rp(R)rp(R) 编辑：请注意，上述问题与布尔电路复杂度中的以下问题等效：最佳常数是什么，以便每个叶子大小L的布尔DeMorgan公式最多可以转换为等效的深度公式c log …

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最近几个月，我开始就社交选择，箭头定理和相关结果进行自我介绍。 在阅读了开创性的结果之后，我问自己关于偏序偏好会发生什么，答案在Pini 等人的论文中。：汇总部分有序的偏好：不可能和可能性结果。然后，我想知道是否有可能找到可接受的社会选择功能的特征。然后又有人做了（满足 Mossel和Tamuz 的Arrow定理条件的函数的完全刻画）。我不会提供完整的清单，但是我能想到的是与社会选择有关的任何问题，在过去五年中所有这些问题都得到了解决：( 那么，您知道是否存在关于该领域最近完成的工作以及未完成哪些工作的调查？ 另一个问题是：您是否了解复杂性和与社交选择相关的问题（例如，查找与至少一个社交选择功能或此类问题兼容的最大用户子集的复杂性）。

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令G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)为图。对于的顶点，将定义为中的（开放）邻域。也就是说，。定义两个顶点在是双胞胎如果和具有相同的组的邻居的，即，如果。x∈Vx∈Vx\in VN(x)N(x)N(x)xxxGGGN(x)={y∈V|{x,y}∈E}N(x)={y∈V|{x,y}∈E}N(x)=\{y\in V \,\vert\, \{x,y\}\in E\}u,vu,vu,vGGGuuuvvvN(u)=N(v)N(u)=N(v)N(u)=N(v) 给定一个在个顶点上有边的图作为输入，如果存在这样的一对孪生，我们可以在多快的时间内找到的一对孪生？GGGnnnmmmGGG 通过比较两个邻域的邻域，可以检查两个给定的顶点在时间是否为双胞胎。一个简单的算法是找到双胞胎，因此要为每对顶点检查它们是否为双胞胎。这需要时间（并且还会找到所有双胞胎对）。在图中找到（如果存在）一对双胞胎是否有明显更快的方法？文献中是否有解决此问题的已知工作？O(n)O(n)O(n)O(n3)O(n3)O(n^{3})

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彼得·索尔（Peter Shor）提出了一个有趣的观点，试图回答一个较早的问题，即解决 Rubiks立方体的复杂性。我发布了一个相当幼稚的尝试，以表明它必须包含在NP中。正如彼得指出的那样，我的方法在某些情况下是失败的。这种情况的一种可能情况是，路径长度中存在局部最大值。我的意思是说，可能需要S A动作才能从配置A以及S A或S A A求解立方体。现在，如果S A不一定是这样的问题n × n × nñ×ñ×ñn \times n \times n小号一种小号一种S_A一种一种A小号一种小号一种S_A移动到解决由能在一个从移动到达的任何位置的立方体小号一种− 1小号一种-1个S_A - 1一种一种A小号一种小号一种S_A是解决一般立方体所需的最大移动次数（该立方体的上帝编号），，但如果严格小于该立方体的上帝编号，则肯定是一个问题。所以我的问题是这样的局部最大值是否存在？我什至对3 × 3 × 3立方体的答案也很感兴趣。小号一种小号一种S_A3 × 3 × 33×3×33 \times 3 \times 3

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关于以下问题的时间复杂度（我们称为3-MUL）的知识是什么？ 给定整数的集合，中是否有元素使得？小号SSñnn一个，b ，c ^ ∈ 小号a,b,c∈Sa,b,c\in Sa b = cab=cab=c 此问题类似于3-SUM问题，该问题询问是否存在三个元素使得（或等效地）。推测3-SUM大约需要二次时间。3-MUL是否有类似的猜想？具体来说，是否知道3-MUL是3-SUM硬的？一个，b ，c ^ ∈ 小号a,b,c∈Sa,b,c\in Sa + b + c = 0a+b+c=0a+b+c=0a + b = ca+b=ca+b=cñnn 注意，时间复杂度应适用于“合理的”计算模型。例如，我们可以从集上的3-SUM减少到集上的3-MUL ，其中 。然后，当且仅当，存在3-MUL的解。但是，数字的这种指数级膨胀在各种模型（例如RAM模型）中非常严重。小号SS小号′S′S'小号′= { 2X| X ∈ 小号}S′={2x∣x∈S}S'=\{2^x\mid x\in S\}2一种⋅ 2b= 2C2a⋅2b=2c2^a\cdot 2^b=2^ca + b = ca+b=ca+b=c

22 cc.complexity-theory  ds.algorithms  time-complexity 

以下是分析算法运行时间的一些方法： 1）最坏情况分析：最坏情况下的运行时间。 2）平均情况分析：随机实例上的预期运行时间。 3）摊销分析：最坏实例序列的平均运行时间。 4）平滑分析：在最坏的随机扰动实例上的预期运行时间。 5）通用案例分析：运行时间在所有实例中只有一小部分是最差的。 我的问题：这是完整的清单吗？

22 ds.algorithms 

1999年，Petra Schuurman和Gerhard J. Woeginger发表了论文“用于机器调度的多项式时间逼近算法：十个开放问题”。从那时起，据我所知，还没有出现涉及相同问题列表的评论。因此，如果我们每个人都可以对十个未解决的问题中的一些做出这样的总结并将其贡献在这里，那将是巨大而有益的。

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基本参考是什么？是否对SGT及其在CS以及更具体的机器学习中的应用进行了良好的高层次调查？

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斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）提出了一个有趣的挑战：今天我们可以使用超级计算机来帮助解决CS问题，就像物理学家使用大粒子对撞机一样吗？ 更具体而言，我的建议是将世界上的某些计算能力投入到全面的尝试中，以回答以下问题：计算4×4矩阵的永久性是否比计算其行列式需要更多的算术运算？ 他的结论是，这需要〜101231012310^{123}次浮点运算，这是超出我们目前的手段。该幻灯片可用，也是值得一读。 通过蛮力试验解决开放式TCS问题是否有先例？

22 cc.complexity-theory 

最初的非确定性时间层次定理是由Cook提出的（链接是S. Cook，《非确定性时间复杂性的层次结构》，JCSS 7 343–353，1973）。定理指出，对于任何实数r1r1r_1和，如果则NTIME（）严格包含在NTIME（）中。 1 ≤ [R 1 < - [R 2 ñ - [R 1 ñ - [R 2r2r2r_21≤r1<r21≤r1<r21 \le r_1 \lt r_2nr1nr1n^{r_1}nr2nr2n^{r_2} 证明的一个关键部分使用（未指定）对角线化来构造一种与较小类的元素分离的语言。这不仅是一种非建设性的论据，而且通过对角化获得的语言通常除了分离本身之外没有其他见解。 如果我们想了解NTIME层次结构的结构，则可能需要回答以下问题： 是否有在n时间自然语言（ñk + 1ñķ+1个n^{k+1}），而不是在n时间（ñķñķn^k）？ 一个候选者可能是k-ISOLATED SAT，它需要找到CNF公式的解，而汉明距离k内没有其他解。但是，像往常一样，证明下界似乎 很棘手。显然，检查汉明k球显然没有潜在的解决方案，“应该”需要检查Ω （nķ）Ω（ñķ）\Omega(n^k)不同的分配，但这绝不容易证明。 （注意：Ryan Williams指出，ķķk下限-ISOLATED SAT实际上将证明P≠NP，因此，这个问题似乎不是正确的选择。） 请注意，该定理无条件地成立，而不管诸如P与NP之类未经证明的分离。因此，对该问题的肯定回答将无法解决P vs. NP，除非它具有上面的ķķk -ISOLATED SAT之类的其他属性。 NTIME的自然分离可能有助于阐明NP的“困难”行为的一部分，该部分是由于硬度的无限上升顺序而引起困难的。 由于下界是很难的，因此我会接受自然语言作为答案，即使没有证据，我们也有充分的理由相信下界。例如，如果这个问题已经约DTIME，那么我会接受F（k ）F（ķ）f(k) -CLIQUE，对于一个非递减函数F（X ）＆Element; Θ （X ）F（X）∈Θ（X）f(x) \in …

22 cc.complexity-theory  nondeterminism  time-hierarchy 

我不太明白为什么几乎所有的SAT求解器都使用CNF而不是DNF。在我看来，使用DNF可以更轻松地解决SAT问题。毕竟，您只需要浏览一组隐含项，并检查其中的一个是否既不包含变量也不包含其否定值。对于CNF，没有像这样的简单过程。

22 ds.algorithms  sat