假设
证明以下陈述正确的最简单方法是什么？ 假设Y1,…,Yn∼iidExp(1)Y1,…,Yn∼iidExp(1)Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)。显示∑ni=1(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)∑i=1n(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1)。 注意，Y(1)=min1≤i≤nYiY(1)=min1≤i≤nYiY_{(1)} = \min\limits_{1 \leq i \leq n}Y_i。 通过X∼Exp(β)X∼Exp(β)X \sim \text{Exp}(\beta)，这意味着，fX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0}fX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0}f_{X}(x) = \dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta} \cdot \mathbf{1}_{\{x > 0\}}。 很容易看到Y(1)∼Exponential(1/n)Y(1)∼Exponential(1/n)Y_{(1)} \sim \text{Exponential}(1/n)。此外，我们也有∑ni=1Yi∼Gamma(α=n,β=1)∑i=1nYi∼Gamma(α=n,β=1)\sum_{i=1}^{n}Y_i \sim \text{Gamma}(\alpha = n, \beta = 1)的参数化下 fY(y)=1Γ(α)βαxα−1e−x/β1{x>0}, α,β>0.fY(y)=1Γ(α)βαxα−1e−x/β1{x>0}, α,β>0.f_{Y}(y) =\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\mathbf{1}_{\{x > 0\}}\text{, }\qquad \alpha, \beta> 0\text{.} 西安人给出的解决方案答案：在原始问题中使用符号： 由此，我们得到了Σ Ñ …