Questions tagged «random-variable»

随机变量或随机变量是受到偶然变化(即,数学意义上的随机性)影响的值。

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指数随机变量的条件期望
为一个随机变量(é [ X ] = 1X∼Exp(λ)X∼Exp(λ)X\sim \text{Exp}(\lambda))我凭直觉感到E[X| X>x]应该等于x+E[X],因为通过无记忆属性,X|x的分布 X>x与X相同,但向右移动x。E[X]=1λE[X]=1λ\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}E[X|X>x]E[X|X>x]\mathbb{E}[X|X > x]x+E[X]x+E[X]x + \mathbb{E}[X]X|X>xX|X>xX|X > xXXXxxx 但是,我正在努力使用无记忆属性来提供具体的证明。任何帮助深表感谢。 谢谢。

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随机变量和随机样本有什么区别?
当我学习统计学时,这两个表达使我很困惑。在我看来,它们是完全不同的东西。 甲随机样本是从群体中随机取一个样品,而随机变量是这样一组的实验的所有可能结果的映射到实数的函数。 但是,假设我画了一些样本,,和,其中和未知,那么,,随机样本还是随机变量?X1X1X_1X2X2X_2X3X3X_3Xi∼N(μ,σ2)Xi∼N(μ,σ2)X_i \sim N(\mu,\sigma^2)μμ\muσσ\sigmaX1X1X_1X2X2X_2X3X3X_3

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“绝对连续随机变量”与“连续随机变量”?
在Valentin V. Petrov的《概率论的有限定理》一书中,我看到了分布的定义是“连续的”和“绝对连续的”之间的区别,其定义如下: X P (X ∈ 乙) = 0 乙P (X ∈ 乙) = 0 乙(* )(∗)(*) “ ... 如果实线的任何有限点或可数点的,则随机变量的分布被认为是连续的。如果Lebesgue的所有Borel集的,则绝对是连续的...”XXXP(X∈ 乙) = 0P(X∈乙)=0P\left(X \in B\right)=0乙乙BP(X∈ 乙) = 0P(X∈乙)=0P\left(X \in B\right)=0乙乙B 我熟悉的概念是: (#)(#)(\#) “如果随机变量具有连续的累积分布函数,则它绝对是连续的。” (∗ )(#)我的问题是:我的问题是:\textbf{My questions are:}和关于“绝对连续性”的两个描述是在谈论同一件事吗?如果是,我如何将一种解释翻译成另一种解释?(* )(∗)(*)(#)(#)(\#) 谢谢!


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XXX和YYY独立地分布的随机变量,其中X∼χ2(n−1)X∼χ(n−1)2X\sim\chi^2_{(n-1)}和Y∼Beta(n2−1,n2−1)Y∼Beta(n2−1,n2−1)Y\sim\text{Beta}\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)。Z=(2Y−1)√的分布是什么Z=(2Y−1)X−−√Z=(2Y−1)XZ=(2Y-1)\sqrt X? 联合密度(X,Y)(X,Y)(X,Y)由下式给出 fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=e−x2xn−12−12n−12Γ(n−12)⋅yn2−2(1−y)n2−2B(n2−1,n2−1)1{x&gt;0,0&lt;y&lt;1}fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=e−x2xn−12−12n−12Γ(n−12)⋅yn2−2(1−y)n2−2B(n2−1,n2−1)1{x&gt;0,0&lt;y&lt;1}f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n-1}{2}-1}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\cdot\frac{y^{\frac{n}{2}-2}(1-y)^{\frac{n}{2}-2}}{B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{\{x>0\,,\,00\,,\,|z|<w\}} 的边缘PDF 是然后 ˚F Ž(ż )= &Integral; ∞ | z | f Z ,W(z ,w )ZZZ,它不会带我到任何地方。fZ(z)=∫∞|z|fZ,W(z,w)dwfZ(z)=∫|z|∞fZ,W(z,w)dwf_Z(z)=\displaystyle\int_{|z|}^\infty f_{Z,W}(z,w)\,\mathrm{d}w 同样,在找到的分布函数时,出现了不完整的beta /γ函数:ZZZ FZ(z)=Pr(Z≤z)FZ(z)=Pr(Z≤z)F_Z(z)=\Pr(Z\le z) =Pr((2Y−1)X−−√≤z)=∬(2y−1)x√≤zfX,Y(x,y)dxdy=Pr((2Y−1)X≤z)=∬(2y−1)x≤zfX,Y(x,y)dxdy\quad\qquad=\Pr((2Y-1)\sqrt X\le z)=\displaystyle\iint_{(2y-1)\sqrt{x}\le z}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y 这里变量的适当变化是什么?还有另一种方法可以找到的分布吗?ZZZ 我尝试使用Chi-Squared,Beta,“ F”和“ t”分布之间的不同关系,但似乎无济于事。也许我缺少明显的东西。 如@Francis所述,此转换是Box-Müller转换的概括。

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构造示例显示
如何构造一个E(1X)=1E(X)E(1X)=1E(X)\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}假设P(X≠0)=1P(X≠0)=1\mathbb{P}(X\ne0)=1? E(X )成立。 从Jensen不等式得出的正值RV XXX的不等式类似于E(1X)≥1E(X)E(1X)≥1E(X)\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)\ge\frac{1}{\mathbb{E}(X)}(如果X&lt;0X&lt;0X<0则为反向不等式)。这是因为该映射x↦1xx↦1xx\mapsto\frac{1}{x}对于x&gt;0x&gt;0x>0是凸的,对于x&lt;0x&lt;0x<0凹的。遵循詹森不等式中的等式条件,我猜想分布必须退化才能保持所需的等式。如果X=1X=1X=1ae,则等式成立的一个简单情况当然是在问题书中找到的一个示例:考虑一个离散随机变量XXX,使得P(X=−1)=19,P(X=12)=P(X=2)=49P(X=−1)=19,P(X=12)=P(X=2)=49\mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{9}, \mathbb{P}(X=\frac{1}{2})=\mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{9}。然后可以很容易地验证E(1X)=1E(X)=1E(1X)=1E(X)=1\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=1。 此示例表明,XXX不必为正(或负)ae即可保持标题中的相等。这里的分布也不退化。 我如何构造一个示例,可能就像我在书中找到的那样?有动力吗?

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如果随机变量的值范围是有界的,我们如何获得正态分布为?
假设我们有一个随机变量,其值的范围由和界定,其中是最小值,是最大值。b a baaabbbaaabbb 有人告诉我,,其中是我们的样本大小,我们样本均值的抽样分布是正态分布。也就是说,当我们增加我们越来越接近正态分布,但实际极限是相等的正态分布。ñ ñ ñ →交通∞n→∞n→∞n \to \inftynnnnnnn→∞n→∞n \to \infty 但是,它不是必须从扩展到的正态分布的定义的一部分吗?∞−∞−∞- \infty∞∞\infty 如果我们范围的最大值为,则最大样本均值(与样本大小无关)将等于,最小样本均值将等于。b 一bbbbbbaaa 因此在我看来,即使当接近无穷大时采用极限,我们的分布也不是实际的正态分布,因为它受和。一个bnnnaaabbb 我想念什么?


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当两个序列都收敛到一个非退化随机变量时,Slutsky定理仍然有效吗?
我对Slutsky定理的一些细节感到困惑: 令{Xn}{Xn}\{X_n\},{Yn}{Yn}\{Y_n\}是两个标量/向量/矩阵随机元素序列。 如果XnXnX_n的分布收敛到一个随机元素XXX而YnYnY_n 的概率收敛到一个常数ccc,则Xn+Yn XnYn Xn/Yn →d X+c→d cX→d X/c,Xn+Yn →d X+cXnYn →d cXXn/Yn →d X/c,\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, } 前提是ccc是可逆的,其中→d→d{\xrightarrow {d}}表示分布收敛。 如果Slutsky定理中的两个序列都收敛到一个非退化的随机变量,那么该定理仍然有效,如果无效(有人可以提供一个例子吗?),使它有效的额外条件是什么?

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关于概率收敛
让{Xn}n≥1{Xn}n≥1\{X_n\}_{n\geq 1}是随机变量ST的序列Xn→aXn→aX_n \to a在概率,其中a&gt;0a&gt;0a>0是固定不变的。我正在尝试显示以下内容: Xn−−−√→a−−√Xn→a\sqrt{X_n} \to \sqrt{a} 和 aXn→1aXn→1\frac{a}{X_n}\to 1 的概率均相同。我在这里看看我的逻辑是否正确。这是我的工作 尝试 对于第一部分,我们有 |Xn−−−√−a−−√|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn−−−√+a−−√|=ϵ|(Xn−−−√−sqrta)+2a−−√||Xn−a|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn+a|=ϵ|(Xn−sqrta)+2a||\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}| ≤ϵ|Xn−−−√−a−−√|+2ϵa−−√&lt;ϵ2+2ϵa−−√≤ϵ|Xn−a|+2ϵa&lt;ϵ2+2ϵa\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a} 注意, ϵ2+2ϵa−−√&gt;ϵa−−√ϵ2+2ϵa&gt;ϵa\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a} 则 P(|Xn−−−√−a−−√|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa−−√)→1asn→∞P(|Xn−a|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa)→1asn→∞P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty ⟹Xn−−−√→a−−√inprobability⟹Xn→ainprobability\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability 对于第二部分,我们有 现在,由于 X n → a为 n → ∞,我们得到 X n是有界序列。换句话说,存在一个实数中号&lt; ∞ ST | X n | ≤ 中号。因此, | …



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如何参数化两个正态分布变量的比率或一个的倒数?
问题: 我正在参数化分布,以用作贝叶斯元分析中的先验和数据。数据在文献中以摘要统计的形式提供,几乎专门假定为正态分布(尽管所有变量均不能小于0,某些变量是比率,某些变量是质量,等等)。 我遇到了两种情况,但我没有解决方案。有时感兴趣的参数是数据的倒数或两个变量的比率。 例子: 两个正态分布变量的比率: 数据:氮和碳百分比的平均值和标准偏差 参数:碳氮比。 正态分布变量的倒数: 数据:质量/面积 参数:面积/质量 我当前的方法是使用仿真: 例如,对于一组碳和氮百分比数据,均值:xbar.n,c,方差:se.n,c,样本大小:nn,nc: set.seed(1) per.c &lt;- rnorm(100000, xbar.c, se.c*n.c) # percent C per.n &lt;- rnorm(100000, xbar.n, se.n*n.n) # percent N 我想参数化ratio.cn = perc.c / perc.n # parameter of interest ratio.cn &lt;- perc.c / perc.n 然后为我的先前选择范围为的最佳拟合分布0 → ∞0→∞0 \rightarrow \infty library(MASS) dist.fig …

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来自同一分布族的两个随机变量是否可能具有相同的期望和方差,但具有更高的矩?
我在考虑位置规模家庭的含义。我的理解是,对于位置标尺族的每个成员,其参数分别位置标尺和b标尺,则Z =(Xa)/ b的分布不取决于任何参数,并且属于该族的每个X都是相同的。XXXaaabbbZ=(X−a)/bZ=(X−a)/bZ =(X-a)/bXXX 所以我的问题是,您能否提供一个示例,其中将来自同一分布族的两个随机数标准化,但不会导致具有相同分布的随机变量? 假设XXX和YYY来自同一个分布族(例如,我所说的族指正态或Gamma等等)。限定: Z1=X−μσZ1=X−μσZ_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma} Z2=Y−μσZ2=Y−μσZ_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma} 我们知道Z1Z1Z_1和Z2Z2Z_2都具有相同的期望和方差,μZ=0,σ2Z=1μZ=0,σZ2=1\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1。 但是他们可以有更高的时刻吗? 我试图回答这个问题的尝试是,如果XXX和Y的分布YYY取决于两个以上的参数。我正在考虑具有3个参数的广义t−studentt−studentt-student。 但是,如果参数数量为≤2≤2\le2并且XXX和YYY来自相同的分布族,并且具有相同的期望和方差,那么是否意味着Z1Z1Z_1和Z2Z2Z_2具有相同的分布(较高的矩)?

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高矩形矩阵对随机变量的线性变换
假设我们有一个随机向量,它是从概率密度函数为的分布中得出的。如果我们用一个完整的矩阵对其进行线性变换,得到,则的密度由X⃗ ∈RnX→∈Rn\vec{X} \in \mathbb{R}^nfX⃗ (x⃗ )fX→(x→)f_\vec{X}(\vec{x})n×nn×nn \times nAAAY⃗ =AX⃗ Y→=AX→\vec{Y} = A\vec{X}Y⃗ Y→\vec{Y}fY⃗ (y⃗ )=1|detA|fX⃗ (A−1y⃗ ).fY→(y→)=1|detA|fX→(A−1y→). f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}). 现在说我们变换X⃗ X→\vec{X}代替由m×nm×nm \times n矩阵BBB,与m&gt;nm&gt;nm > n,给人Z⃗ =BX⃗ Z→=BX→\vec{Z} = B\vec{X}。显然,Z∈RmZ∈RmZ \in \mathbb{R}^m,但是它“存在于” nnn维子空间G⊂RmG⊂RmG \subset \mathbb{R}^m。已知Z⃗ Z→\vec{Z}位于G中,它的条件密度是GGG多少? 我的第一个本能是使用B的伪逆BBB。如果B=USVTB=USVTB = U S V^T是奇异值分解BBB,然后B+=VS+UTB+=VS+UTB^+ = V S^+ U^T是伪逆,其中S+S+S^+通过反转对角矩阵的非零项形成SSS。我猜想这会给fZ⃗ (z⃗ )=1∣∣det+S∣∣fX⃗ (B+z⃗ ),fZ→(z→)=1|det+S|fX→(B+z→), …

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