Questions tagged «graph-algorithms»

考虑具有非负边缘权重和两个不同顶点的连通无向图。下面是具有以下所有形式的一些路径问题：查找路径，以使该路径上的边权重的某些函数最小。从这个意义上讲，它们都是最短路径问题的“亲戚”。在后者中，功能只是总和。s,ts,ts,ts−ts−ts-t 注意：我们正在寻找简单的路径，即没有任何重复的顶点。由于我在文献中找不到这些问题的标准名称，因此我自己给它们命名。 具有最小权重间隙的路径：找到一条s−ts−ts-t路径，以使路径上最大和最小边缘权重之间的差异最小。 最平滑的路径：找到一条s−ts−ts-t路径，使该路径上的最大步长最小，其中步长是两个连续边之间的权重差的绝对值。 具有最小高度的路径：让我们通过沿路径的步长之和定义路径的高度（请参见上面的步长定义）。找到最低高度的s−ts−ts-t路径。 具有最小素数权重的路径：假设所有边缘权重均为正整数，请找到一条s−ts−ts-t路径，以使其权重为素数。如果有这样一条路，找到一条可能的最小主要重量。 问题：对这些路径问题了解多少？（以及其他可能以类似的精神构思的方法，应用不同的权重函数。）总的来说，是否有任何指南可以在多项式时间内使边缘权重的哪些函数最小化，并且哪些是NP难的？ 注意：例如，有趣的是，虽然权重之和很容易最小化（这是经典的最短路径问题），但是最小化路径上权重的紧密相关的平均数却是NP难的。（将权重2分配给与和关联的所有边，将权重1分配给所有其他边。那么，最小平均权重路径将是最长的路径）。sssttts−ts−ts-t

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给定图形G1，G2和G3，我们要在G1和G2以及G1和G3之间执行同构测试F。如果G2和G3非常相似，使得G3是通过从G2删除一个节点并插入一个节点而形成的，并且我们得到了F（G1，G2）的结果，那么我们可以计算F（G1，G3）而不必从头开始计算它吗通过扩展任何现有的最新方法？ 例如，如果G2由节点2、3、4、5组成，而G3由节点3、4、5、6组成，我们可以利用F（G1，G2）的结果来计算F（G1， G3）更有效？

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动机 前几天，我乘坐公共交通工具在城市中旅行，我做了一个有趣的图形问题，对寻找两个地方之间最短时间联系的问题进行建模。 我们都知道，传统的“最短路径问题”：给定一个有向图具有边缘长度瓦特Ê ∈ [R + 0，G = （V，E）G=(V,E)G=(V,E)和两个顶点小号，吨∈ V，找到之间的最短路径小号和吨（即，路径最小化总边缘长度）。假设非负边长，算法多种多样，问题很容易解决。we∈R+0,e∈Ewe∈R0+,e∈Ew_e\in\mathbb{R}_0^+,\,e\in Es,t∈Vs,t∈Vs,t\in Vsssttt 例如，这对于我们走路的情况是一个很好的模型。顶点是我们道路网络中的十字路口，每个边都有固定的长度-例如，以米为单位。边缘权重另一种可能解释是我们从一个顶点到另一个顶点所花费的时间。这是我现在很感兴趣的解释。wewew_e 问题 我现在想对以下情况建模。我想通过公共交通工具从城市的A点到B点旅行，并尽量减少时间。正如您所期望的，公共交通网络可以轻松地建模为有向图。有趣的部分是边缘权重（用于模拟时间）-公共交通工具（例如公交车）仅在特定间隔内离开，每个停靠点都不同（图中的顶点）。换句话说-边缘权重不是恒定的，它们根据我们要使用边缘的时间而变化。 如何建模这种情况：我们有向图和边缘权重函数瓦特：È × [R + 0 → - [R + 0这需要时间作为它的参数和返回的时间，它需要使用在我们的道路上前进。例如，如果从顶点v到顶点u的巴士在t = 10离开并且需要5个小时，我们在t = 8到达顶点vG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E) w:E×R+0→R+0w:E×R0+→R0+w\colon E\times \mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+vvvuuut=10t=10t=10555vvvt=8t=8t=8，则是边缘权重。显然，w （v u ，10 ）= 5。w(vu,8)=7w(vu,8)=7w(vu,8)=7w(vu,10)=5w(vu,10)=5w(vu,10)=5 定义路径的总权重有些棘手，但是我们可以递归地进行。令为有向路径。如果k = 1，则w （P ）= 0。否则，w （P ）= w （P '）+ w （v …

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令是n个顶点和m个边上的简单无向图。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)nnnmmm 我正在尝试确定用于生成G的随机生成树的Wilson算法的预期运行时间。那里，它被示出为ø （τ ），其中，τ是平均击打时间：τ = Σ v ∈ V π （v ）⋅ ħ （Û ，v ），其中：GGGO(τ)O(τ)O(\tau)ττ\tauτ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),τ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),\tau = \sum_{v \in V} \pi(v) \cdot H(u, v), 是平稳分布 π （v ）= d （v ）ππ\pi ，π(v)=d(v)2mπ(v)=d(v)2m\pi(v)=\frac{d(v)}{2m} 是一个任意顶点，并且uuu 是命中时间（AKA访问时间），即从顶点 u开始访问顶点 v之前的预期步数。H(u,v)H(u,v)H(u,v)vvvuuu 平均击球时间的一般上限是多少？最大化平均命中时间的最坏情况图是什么？GGG 为了使我的问题更清楚，我不需要任何计算或详细的证明（尽管它们可能对将来遇到此问题的其他人很有用）。对我个人而言，引用就足够了。 Θ(n)Θ(n)\Theta(n)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n \log n) Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n3)Θ(n3)\Theta(n^3)O(n2)O(n2)O(n^2)O(n3)O(n3)O(n^3) 我知道有两种威尔逊算法的公开实现。一个在Boost Graph Library中，第二个在graph-tool中。前者的文档没有提及运行时间，而后者则指出： O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n) 哪一个没有回答问题，实际上似乎与威尔逊的论文不一致。但我报告这是为了以防万一，以节省与咨询实现文档相同想法的任何人的时间。 Ω(n3)Ω(n3)\Omega(n^3)1n1n\frac{1}{n}O(n2)O(n2)O(n^2) …

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以下问题（ P？NP-hard？）的复杂性是什么：∈∈\in 输入：有向无环图，一组后沿，以及两个不同的节点和。D=(V,E)D=(V,E)D=(V,E)E′⊂V×VE′⊂V×VE'\subset V\times Vsssttt 问题：让表示通过将的边添加到形成的图。是否有从一个简单的路径到在使用至少一个向后边缘？G=(V,E∪E′)G=(V,E∪E′)G=(V,E\cup E')DDDE′E′E'ssstttGGG 注意：0）简单路径是不重复顶点的路径，后边缘是与DAG隐含的偏序相反的边缘。1）如果我们要求简单路径通过平凡减少不相交路径问题来要求简单路径仅使用一个后向边缘（或常数），则该问题就很容易了，这可以接受DAG中的简单PTime解决方案（Perl和Shiloach，JACM'78） 2）不相交路径问题在一般图中是NP完全的（Fortune等人，TCS'80）。

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遵循有关NP完整性的等价问题（请参见权重问题和有向问题），我想知道参数化问题如何受到这些属性的影响。 哪些硬图问题在有向图上是难，但在无向图上是可处理的固定参数？ñPñPNPw ^[ 1 ]w ^[1个]W[1] 加权图上的硬性是哪些硬图问题，而未加权图上的硬图问题？ñPñPNPw ^[ 1 ]w ^[1个]W[1] 好的，所以我们遇到的问题在定向版本上变得更加困难。重量呢？他们可以使参数化问题更难吗？

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如果图的生成树的叶子集在宿主图中引起了完整的子图，则将其称为完整性树。给定一个图 和一个整数k，确定G是否包含最多k个叶子的完整性树的复杂性是什么？GGGkkkGGGkkk 提出此问题的原因是，独立树的相应问题 是NP完全的，此处独立树是生成树，因此其叶子的集合是主图中的独立集合。 另一个原因是这个问题 （以及相应的答案）。事实证明，当且仅当G是完整图或一个循环时，G的每个生成树才是完整性树。 GGGGGG

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鉴于家庭最多ň的子集{ 1 ，2 ，... ，ñ }。并集闭包F是另一个集族C，其中包含可以通过在F中采用1个或更多集的并集来构造的每个集。由| C | 我们表示C中的集合数。FF\mathcal Fññn{ 1 ，2 ，... ，Ñ }{1个，2，…，ñ}\{ 1, 2, \dots, n \}FF\mathcal FCC\mathcal CFF\mathcal F| C||C||\mathcal C|CC\mathcal C 计算联合关闭的最快方法是什么？ 我已经证明了联合闭包和在二部图中列出所有最大独立集之间的等价关系，因此我们知道确定联合闭包的大小是＃P-完全的。 然而，有一种方法，以列出所有极大独立集（或最大小集团）时用于与图形Ñ节点和米边缘筑山等人。1977年。但这并不专门用于二部图。O （| C| ⋅Ñ米）Ø（|C|⋅ñ米）O(|\mathcal C| \cdot nm)ññn米米m 我们给出了带有运行时的二部图的算法 http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf| C| ⋅日志| C| ⋅ ñ2|C|⋅日志⁡|C|⋅ñ2|\mathcal C| \cdot \log |\mathcal C| \cdot n^2 我们的方法基于这样的观察：中的任何元素都可以通过C的其他一些元素与原始集合之一的并集来构成。因此，每当我们向C添加元素时，我们都会尝试将其扩展为n个原始集合之一。对于这些的ñ …

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修复。对于足够大的，我们想用正整数标记大小为的的所有子集。我们希望该标签满足以下属性：有一组整数，stk≥5k≥5k\ge5nnn{1..n}{1..n}\{1..n\}n/kn/kn/k{1...T}{1...T}\{1...T\}SSS 如果大小为个子集不相交（即这些集合的并集形成所有集合），则它们的标签之和在。kkkn/kn/kn/k{1..n}{1..n}\{1..n\}SSS 否则，它们的标签之和不在。SSS 是否存在和标签st？k≥5k≥5k\ge5T⋅|S|=O(1.99n)T⋅|S|=O(1.99n)T\cdot|S|=O(1.99^n) 例如，对于任何我们可以按以下方式标记子集。 ，每个子集具有在他们的比特数：第一比特等于且仅当子集包含，第二位等于且仅当子集包含等可以很容易地看到，仅包含一个元素。但是这里。我们可以做得更好吗？kkkT=2nT=2nT=2^nnnn111111111222SSS2n−12n−12^n-1T⋅|S|=Θ(2n)T⋅|S|=Θ(2n)T\cdot|S|=\Theta(2^n)

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对于无向图和给定的一组顶点S，找到包含S的所有元素的简单路径的渐近最快的已知算法是什么。如果我们要求路径尽可能短怎么办？GGGSSSSSS

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给定的平面非加权曲线图，顶点对的集合（ķ ≥ 2为常数），发现ķ顶点不相交（除了源）从路径小号到吨我使得最长路径的长度被最小化。(s,t1),…,(s,tk)(s,t1),…,(s,tk)(s,t_1),\dots,(s,t_k)k≥2k≥2k\ge2kkkssstitit_i 问题：是否有多项式时间算法可以解决该问题？ 一些相关结果： 如果不固定，即使t 1 = ⋯ = t k，问题也是NP-难的；kkkt1=⋯=tkt1=⋯=tkt_1=\dots=t_k 如果输入图被加权并且路径的来源不重合，即路径是那么即使k = 2，问题也是NP-难的；(s1,t1),…,(sk,tk)(s1,t1),…,(sk,tk)(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)k=2k=2k=2 具有不同目标的问题，即最小化路径长度的总和是 可以用最小成本流算法来求解一致的源； NP-hard适用于非一致源和一般；kkk 对不重合的源开放，常数。kkk

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我想知道以下简单问题是否已经研究过，是否知道任何解决方案。 令G为有限（MxN）网格，S为G单元的子集（“小块”）。如果两个碎屑的坐标最多相差一个（即，如果绘制为正方形，则它们共享至少一个拐角点），则称为两个（局部）连接。 现在，可以通过排列网格的线和列来尝试连接碎屑（它们的集合）。换句话说，目标是提出线的排列和列的排列，以使生成的网格中的任何两个碎屑通过（局部）连接的碎屑链连接。 问题：总有解决方案吗？ 我不太清楚该如何进攻。由于缺乏更好的主意，我编写了一个原始程序，该程序通过蛮力寻找解决方案（它会随机生成排列并检查生成的网格是否连接了碎屑）。到目前为止，该程序始终在较小的（10x10或7x14）网格上找到解决方案，而较大的网格显然超出了其简化策略的范围（在解决方案中随机绊倒会花费太长时间）。 这是程序解决的网格示例： 初始网格（小块由X表示，空单元由点表示）： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 X . X X . X . X X . 1 X . . . . X . . . . 2 . . X . . . . X . X …

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是否有多项式时间算法来查找给定图的生成蜘蛛（如果存在）？蜘蛛是一棵树，最多有一个节点的度数大于2： 我知道上的各种度数条件（实质上是足够大的节点度数）可确保存在一个生成的蜘蛛。但是我想知道是否有一个针对任意的算法。谢谢！GGG GGGGGG

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给定3D笛卡尔空间中的一组点，我正在寻找一种对这些点进行排序的算法，以使两个连续点之间的最小欧几里得距离最大化。 如果该算法具有趋向于在连续点之间更高的平均欧几里得距离的趋势，那将也是有益的。

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给定一个有向图和两个顶点。如果从到的一对简单路径不共享边，则它们是边不相交的。š ，吨∈ V p 1，p 2小号吨G=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)s,t∈Vs,t∈Vs,t \in Vp1,p2p1,p2p_1,p_2sssttt 使用最大流量，很容易确定是否存在从到的一对边缘不相交的路径。现在，是否存在一个多项式时间延迟算法来枚举从到所有边缘不相交路径对？牛逼小号ssstttsssttt

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