最大重量“公平”匹配
我对图表中最大权重匹配的一种变体感兴趣，我称之为“最大公平匹配”。 假定图满（即），具有顶点的偶数，且重量由利润函数给出号码：{V \选择2} \到\ mathbbÑ。给定匹配M，用M（v）表示边v的利润与之匹配。E=V×VE=V×VE=V\times Vp:(V2)→Np:(V2)→Np:{V\choose 2}\to \mathbb NMMMM(v)M(v)M(v)vvv 的匹配MMM是一个公平的匹配当且仅当，对于任何两个顶点u,v∈Vu,v∈Vu,v\in V： (∀w∈V: p({w,v})≥p({w,u}))→M(v)≥M(u)(∀w∈V: p({w,v})≥p({w,u}))→M(v)≥M(u)(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u) 也就是说，如果对于V中的任何顶点w∈Vw∈Vw\in V，将w匹配www到顶点vvv都比将其匹配到顶点u获得更高的利润uuu，则公平匹配必须满足M(v)≥M(u)M(v)≥M(u)M(v)\geq M(u)。 我们能否有效地找到最大重量公平匹配？ 一个有趣的情况是，当图为二分图且公平性仅适用于一侧时，即假设G=(L∪R,L×R)G=(L∪R,L×R)G=(L\cup R,L\times R)，我们得到了一个利润函数p:L×R→Np:L×R→Np:L\times R\to \mathbb N。 甲公平二部匹配是在匹配GGG使得对于任意两个顶点u,v∈Lu,v∈Lu,v\in L： (∀w∈R: p({v,w})≥p({u,w}))→M(v)≥M(u)(∀w∈R: p({v,w})≥p({u,w}))→M(v)≥M(u)(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u) 我们可以多快找到最大重量的公平二分匹配？ 这个问题的动机来自两党的特殊情况。假设您有工人和任务，而工人可以从工作产生利润。问题在于设计一个合理的（在某种意义上说，工人不会感到“被剥夺”），同时使总收益最大化（在分配机制的力量和社会利益之间进行权衡）。nnnmmmiiipi,jpi,jp_{i,j}jjj 如果我们将工人分配给工作的社会福利（或工厂利润）定义为利润之和。 查看作业分配器功能的不同方案，我们得到以下结果： 如果允许我们将任何工人分配给任何工作，我们可以有效地优化工厂（只需找到最大权重匹配项）。 如果每个工人自己选择一个任务，假设他将是自己的工作（每个工作只能选择一个工作），如果他是选择任务的最合格工人，则这些工人将趋于“贪婪”平衡。原因是，赚得最多的工人（）会选择最赚钱的工作，依此类推。通过匹配的贪婪算法的近似率，这应该给出最大社会福利的2近似值。i=argmaximaxjpi,ji=argmaximaxjpi,ji=\mbox{argmax}_i \max_j …