Questions tagged «linear-algebra»

线性代数处理向量空间和线性变换。

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高斯消除的实际时间复杂度是多少？
在回答前面的问题时，我提到了普遍但错误的信念，即“高斯”消除在时间内运行。显然，该算法使用算术运算，但是粗心的实现可能会创建位数成倍增长的数字。作为一个简单的示例，假设我们要对角以下矩阵：O(n3)O(n3)O(n^3)O(n3)O(n3)O(n^3) ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢211⋮1021⋮1002⋮1⋯⋯⋯⋱⋯000⋮2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥[200⋯0120⋯0112⋯0⋮⋮⋮⋱⋮111⋯2]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2 …
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有证据表明矩阵乘法可以在二次时间内完成吗？
人们普遍猜测，矩阵乘法的最佳指数实际上等于2。我的问题很简单：ωω\omega 我们有什么理由认为？ω=2ω=2\omega = 2 我知道像Coppersmith-Winograd这样的快速算法，但是我不知道为什么可以将这些视为证据。ω=2ω=2\omega = 2 天真地，在我看来，这就像一个经典的例子，一个社区仅仅希望出于美学原因才希望结果是真实的。我很想知道这里是否真的是这种情况。
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寻找矩阵特征分解的复杂性
我的问题很简单： 计算矩阵的本征分解的最著名算法的最坏情况下的运行时间是多少？n×nn×nn \times n 本征分解是减少到矩阵乘法还是在最坏的情况下是最著名的算法（通过SVD）？O(n3)O(n3)O(n^3) 请注意，我要求的是最坏情况的分析（仅就），而不是要求与问题相关的常数（如条件编号）的范围。nnn 编辑：给出以下一些答案，让我调整一下问题：我会对近似感到满意。近似值可以是乘法，加法，逐项输入或任何您想要的合理定义。我感兴趣的是，是否存在一种比对依赖性更好的算法？ϵϵ\epsilonnnnO(poly(1/ϵ)n3)O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) 编辑2：请参见对称矩阵上的相关问题。
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矩阵乘法不在
通常认为，对于所有ϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0，可以在O （n 2 + ϵ）时间内将两个n × nn×nn \times n矩阵相乘。一些讨论在这里。Ø （ñ2 + ϵ）O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon}) 我问过一些对研究更熟悉的人，他们是否认为存在独立于n的k > 0k>0k>0，以至于存在用于矩阵乘法的O （n 2 log k n ）算法，并且他们绝大多数都具有直觉答案是“否”，但无法解释原因。也就是说，他们认为我们可以在O （n 2.001）时间内完成此操作，但不能在O （n 2 log 100 n ）时间内完成。ñnnØ （ñ2日志ķn ）O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)Ø （ñ2.001）O(n2.001)O(n^{2.001})Ø （ñ2日志100n ）O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n) 有什么理由相信在固定k > 0时没有Ø （ñ2日志ķn ）O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k …
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是否有多项式时间算法来确定一组矩阵的跨度是否包含置换矩阵？
我想找到一种确定多项式矩阵的跨度是否包含置换矩阵的多项式时间算法。 如果有人知道这个问题是否属于不同的复杂性类别，那将同样有帮助。 编辑：我已经用线性编程标记了这个问题，因为我强烈怀疑如果存在这样的解决方案，那将是一种线性编程算法。我相信这是因为Birkhoff多面体的极端点恰好是置换矩阵。如果然后您可以找到仅在Birkhoff多边形的顶点上最大化或最小化的目标函数，则可以将函数约束到多边形与向量子空间的交点，然后在多项式时间内将其最大化。如果此值是置换矩阵，则您将知道该集合包含置换。这些就是我对这个问题的想法。 编辑2：经过更多的思考，在我看来，置换矩阵恰好是具有欧几里得范数的Birkhoff多面体的元素√nn−−√\sqrt{n}，我们认为Birkhoff多边形是n×nn×nn \times n置换矩阵的凸包。也许那也很重要。 编辑3：我添加了半定程序设计标签，因为在我之前的评论之后，我开始认为半定程序设计解决方案是可能的，因为它现在是一个线性约束的二次优化算法。
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确定矩阵的内核是否包含所有非零向量，且其所有项均为-1、0或1
给定一个 ×二进制矩阵（项为或），问题在于确定是否存在两个二进制向量，使得（所有操作都在）。NP这个问题难吗？n M 0 1 v 1 ≠ v 2 M v 1 = M v 2 Z米mmñnn中号MM0001个11v1个≠ v2v1≠v2v_1 \ne v_2中号v1个= Mv2Mv1=Mv2Mv_1 = Mv_2žZ\mathbb{Z} 很明显，在NP中，您可以提供两个向量作为见证。 等效地：给定，是否有一个非零向量使得？v ∈ { - 1 ，0 ，1 } Ñ中号v = 0中号MMv ∈ { - 1 ，0 ，1 }ñv∈{−1,0,1}nv\in \{-1,0,1\}^n中号v = 0Mv=0Mv=0 等效地：在给定向量，有两个不同的子集使得？X = { X …
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矩阵供电的复杂性
令为平方整数矩阵，令为正整数。我对以下决策问题的复杂性感兴趣：MMMnnn 的右上角条目是否为正？MnMnM^n 请注意，迭代平方的明显方法（或任何其他显式计算）要求我们潜在地处理双指数幅度的整数，即具有成倍的位数。但是，该问题很容易在Allender等人的“ PosSLP”类（“关于数值分析的复杂性”，SIAM J. Comput。38（5））中找到，因此在计数层次结构的第四层。 1）是否可以将此矩阵供电问题放在较低复杂度的类别中？ 2）如果没有，可以想象它对PosSLP很难吗？ 3）我对低维矩阵的矩阵乘方问题特别感兴趣，即不超过6x6的矩阵。这样的矩阵的复杂度可能更低吗？
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线性独立傅立叶系数
向量空间的基本属性是维数为的向量空间的特征在于线性独立的线性约束-也就是说，存在线性独立的矢量与正交。V⊆Fn2V⊆F2nV \subseteq \mathbb{F}_2^nn−dn−dn-dddddddw1,…,wd∈Fn2w1,…,wd∈F2nw_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^nVVV 从傅立叶角度来看，这等同于说，指示符函数的已线性独立的非零的傅立叶系数。注意具有个非零傅立叶系数，但是其中只有个是线性独立的。1V1V1_VVVVddd 1V1V1_V2d2d2^dddd 我正在寻找向量空间的此属性的近似版本。具体来说，我正在寻找以下形式的声明： 令的大小为。然后，指示符函数具有至多线性独立的傅立叶系数，其绝对值至少为\ varepsilon。S⊆Fn2S⊆F2nS \subseteq \mathbb{F}_2^n2n−d2n−d2^{n-d}1S1S1_Sd⋅log(1/ε)d⋅log⁡(1/ε)d\cdot\log(1/\varepsilon) εε\varepsilon 可以从“结构与随机性”的角度看待这个问题-直觉上，这样的主张说，每个大集合都可以分解为向量空间和小偏置集合的总和。众所周知，每个函数都可以分解为“线性部分”，其中线性部分具有大傅立叶系数和具有较小偏差的“伪随机部分”。我的问题是，线性部分是否仅具有对数个线性独立的傅立叶系数。f:Fn2→F2f:F2n→F2f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2poly(1/ε)poly(1/ε)\mathrm{poly}(1/\varepsilon)
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判断矩阵是否完全规则的复杂性
如果矩阵的所有平方子矩阵都具有完整秩，则称该矩阵为完全规则。此类矩阵用于构造超浓缩器。确定给定矩阵是否在理性上完全规则的复杂性是什么？在有限的领域？ 更一般而言，如果其大小最大为k的所有平方子矩阵都具有完整秩，则称该矩阵为全正则。给定一个矩阵和一个参数k，确定矩阵是否完全为k正则的复杂度是多少？kkkkkkkkkkkk
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给定
谁能帮助我解决以下问题？ 我想找到一些值ai,bjai,bja_i,b_j（mod NNN），其中i=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K （例如K=6K=6K=6），给定一个K2K2K^2值的列表，对应于差ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N（例如N=251N=251N=251），而无需知道具体的对应关系。由于价值观ai,bj(modN)ai,bj(modN)a_i,b_j\pmod N并不是唯一确定给定的差异ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N，我们寻找任何 价值的有效分配。 绝对地，尝试列表中K2K2K^2数字的每个置换（总共K2!K2!K^2!可能的情况），然后以ai,bjai,bja_i,b_j作为变量求解模块化方程是不可行的。 实际上，此问题出现在有关对NTRU签名方案的早期版本进行密码分析的论文中（http://eprint.iacr.org/2001/005）。但是，作者只写了一个句子“简单的回溯算法找到了一种解决方案……”（在第3.3节中），所以有人可以给出更多的解释吗？此外，作者还提到“每个循环移位{((ai+M)modN,(bi+M)modN}Ki=1{((ai+M)modN,(bi+M)modN}i=1K\{((a_i+M)\mod N,(b_i+M)\mod N\}_{i=1}^K或掉期交易({(N−1−bi,N−1−ai)}Ki=1)({(N−1−bi,N−1−ai)}i=1K)(\{(N-1-b_i,N-1-a_i)\}_{i=1}^K)导致a_i-b_j \ mod N的模式相同，ai−bjmodNai−bjmodNa_i-b_j\mod N这对您有帮助吗？
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被求解方程系统模
我对求解任意k的线性模（模k）的复杂性很感兴趣（并且对质数幂有特别的兴趣），特别是： 问题。 对于未知数为的线性方程的给定系统，是否存在任何解决方案？mmmnnnkkk 在他们的论文的摘要中，Mod k L，Buntrock，Damm，Hertrampf和Meinel 类上logspace-MOD类的结构和重要性声称它们“ 通过证明有限环Z上线性代数的所有标准问题来证明其重要性。/ k Z对于这些类是完整的。经过仔细检查，这个故事更加复杂。例如，Buntrock 等。证明（通过在Kaveh发现的较早且可自由访问的草案中进行校对，谢谢！）表明，求解线性方程组的方法反而在互补类coMod k L中，Z/kZZ/kZ\mathbb Z/k\mathbb Zk素数。这个类是不知道等于国防部ķ 大号的ķ复合，但从来没有介意-我很担心的是，他们不作任何言论是否求解线性方程组MOD ķ甚至包含在coMod k L中表示k个合成！ 问题：是否 对所有正k都包含在coMod k L中的 以k为模的线性方程组的求解？ 如果您可以对以质数p的高次幂q为模的方程组进行求解，则也可以对p为模进行求解。因此求解模q的方程组是coMod p L -hard。如果你能证明这个问题是在国防部q大号，你最终会呈现国防部ķ大号 = COMOD ķ大号所有ķ。这可能很难证明。但是它在 coMod k L中吗？
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最小点积查询的数据结构
考虑配备了标准点积和其中向量的：v_1，v_2，\ ldots，v_m。我们要构建一个数据结构，以允许以下格式的查询：给定x \ in \ mathbb {R} ^ n输出\ min_i \ langle x，v_i \ rangle。是否有可能超越平凡的O（nm）查询时间？例如，如果n = 2，则立即获得O（\ log ^ 2 m）。RnRn\mathbb{R}^n⟨⋅,⋅⟩⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \ranglemmmv1,v2,…,vmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mx∈Rnx∈Rnx \in \mathbb{R}^nmini⟨x,vi⟩mini⟨x,vi⟩\min_i \langle x, v_i \rangleO(nm)O(nm)O(nm)n=2n=2n = 2O(log2m)O(log2⁡m)O(\log^2 m) 我唯一能想到的是以下内容。Johnson-Lindenstrauss引理的直接结果是，对于每个ε>0ε>0\varepsilon > 0和\ mathbb {R} ^ n上的\ mathcal {D}分布，都有一个线性映射f \ colon \ mathbb {R} …
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检查一组矩阵的所有乘积是否最终等于零
我对以下问题感兴趣：给定整数矩阵决定这些矩阵的每个无限乘积最终是否等于零矩阵。A1,A2,…,AkA1,A2,…,AkA_1,A_2, \ldots, A_k 这就是您所认为的完全正确：我们将说矩阵的集合具有以下性质：如果不存在无限序列则其所有乘积最终等于0。，全部位于，因此对于所有，。{A1,…,Ak}{A1,…,Ak}\{A_1, \ldots, A_k\}{ 1 ，… ，k } A i 1 A i 2 ⋯ A i l ≠ 0 li1,i2,i3…i1,i2,i3…i_1, i_2, i_3\ldots{1,…,k}{1,…,k}\{1, \ldots, k\}Ai1Ai2⋯Ail≠0Ai1Ai2⋯Ail≠0 A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0lll 是否曾经研究过确定每个产品最终是否等于零的问题？可以决定吗？ 似乎可能与基质死亡率有关，这尚无法确定，但我看不出有明确的联系。
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计算特征值的空间复杂度是多少？
我正在寻找涵盖普通线性代数运算的空间复杂度（例如矩阵等级，特征值计算等）结果的调查报告或书籍。我强调“空间复杂度”部分是指工作空间复杂度，而不是时间复杂度，因为它更容易跟踪时间结果。感谢您对此事的参考。 谢谢。
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