Questions tagged «linear-algebra»

是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

什么是用于计算与系数的整数矩阵的行列式的已知有效的算法，残基的环模米。数米可能不是素数，但复合材料（以便计算在环执行，而不是一个场）。ž米Zm\mathbb{Z}_m米mm米mm 据我所知（请参阅下文），大多数算法都是对高斯消去算法的修改。问题是这些程序的计算效率。 如果碰巧有其他方法，我也对此感到好奇。 提前致谢。 更新： 让我解释一下这个问题的根源。假设，是质数。因此Z m是一个场。在这种情况下，我们可以使用小于m的数字执行所有计算，因此我们对数字的所有运算都有一些不错的上限：加法，乘法和求逆---运行高斯消除所需的所有运算。米mmZmZm\mathbb{Z}_mmmm 另一方面，在不是素数的情况下，我们无法对某些数字进行求逆。因此，我们需要一些技巧来计算行列式。mmm 现在，我很好奇完成这项工作的已知技巧是什么，以及是否可以在书籍和论文中找到这些技巧。

18 ds.algorithms  reference-request  linear-algebra  comp-number-theory 

1979年，Freivalds表明，可以在随机时间内完成任何领域的矩阵乘积的验证。更正式地说，给定三个矩阵A，B和C，其中包含来自字段F的条目，检查AB = C是否具有随机O （n 2）时间算法的问题。O(n2)O(n2)O(n^2)O(n2)O(n2)O(n^2) 这很有趣，因为已知的最快的矩阵乘法算法比这慢，因此检查AB = C是否比计算C快。 我想知道什么是最通用的代数结构，在该结构上矩阵乘积验证仍然具有时间（随机）算法。由于原始算法适用于所有领域，因此我想它也适用于所有整数域。O(n2)O(n2)O(n^2) 对于这个问题，我能找到的最佳答案是在路径，矩阵和三角形问题之间的亚三次等效性，他们说：“环上的矩阵乘积验证可以在随机时间[BK95]中完成。” （[BK95]：M。Blum和S. Kannan。设计检查其工作的程序。J。ACM ，42（1）：269-291，1995年。）O(n2)O(n2)O(n^2) 首先，环是这个问题具有随机算法的最一般的结构吗？其次，我看不到[BK95]的结果如何显示所有环上的O （n 2）时间算法。有人可以解释它是如何工作的吗？O(n2)O(n2)O(n^2)O(n2)O(n2)O(n^2)

18 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

我对具有以下属性的显式布尔函数感兴趣：如果在某些仿射子空间上是常数，则此子空间的维数为。F：0 ，1ñ→0 ，1f:0,1n→0,1f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}Fff ø （Ñ ）0 ，1ñ0,1n\\{0,1\\}^no （n ）o(n)o(n) 通过考虑子空间不难证明对称函数不满足此属性。任何都具有正好为的值，因此是维数为的子空间的常数。A =X ∈0 ，1ñ∣ x1个⊕ X2= 1 ，X3⊕ X4= 1 ，... ，xn − 1⊕ Xñ= 1A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}ñ / 2 1 ˚F 甲Ñ / 2X ∈ …

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  derandomization  linear-algebra 

在Strassen算法中，要计算两个矩阵和B的乘积，将矩阵A和B划分为2 × 2块矩阵，并且该算法以递归方式计算7个块矩阵矩阵乘积，而不是朴素的8块矩阵-基质的产品，即，如果我们想ç = 甲乙，其中 甲 = [ 阿1 ] ， 乙 = [ 乙1 ，1个乙1 ，2 乙一种一种\mathbf{A}乙乙\mathbf{B}一种一种\mathbf{A}乙乙\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A BC=一种乙\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} 然后，我们有 Ç1，1=阿1，1个乙1，1+阿1A = [ A1 ，1一种2 ，1一种1 ，2一种2 ，2] ， B = [ B1 ，1乙2 ，1乙1 ，2乙2 ，2] ， C = [ C1 ，1C2，1C1 …

17 ds.algorithms  linear-algebra  matrices  matrix-product 

给定两个 ×矩阵和，确定是否存在置换矩阵使得等于（图同构）的问题。但是，如果我们放松使其只是一个可逆矩阵，那么复杂度是多少？除了作为一个排列之外，对可逆矩阵是否还有其他限制，将这个问题与其他困难问题联系起来？A B P B = P − 1 A P P Pn×nn×nn \times nAAABBBPPPB=P−1APB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI

16 ds.algorithms  time-complexity  linear-algebra  matrices  graph-isomorphism 

在2012年，Lipton写了一篇博客文章，内容是Prasad Raghavendra提出的用于求解有限域上线性系统的新算法。 Raghavendra与此主题的论文草稿的链接现在已失效，并且我在Raghavendra的网站上找不到关于该主题的任何内容。 结果正确吗？是否可以在任何地方写文章？ 谢谢！

15 linear-algebra  finite-fields 

以下问题的计算复杂度是多少： 给定两个复杂矩阵甲和乙检查，如果有一个置换矩阵P，使得： 乙= P 甲P Ť。n × nñ×ñn\times n一种一种A乙乙BPPPB = P一个PŤ。乙=P一种PŤ。B = P A P^T. 如果有帮助，可以假设和B是埃尔米特式的（甚至是A和B是实且对称的）。一种一种A乙乙B一种一种A乙乙B 笔记： 问题源于检查两个向量是否通过单一旋转相关，请参见通过旋转相关的向量集-MathOverflow。在这种情况下，和B是它们的Gramian矩阵。一种一种A乙乙B 这个问题至少和图同构问题一样困难-以和B作为邻接矩阵。一种一种A乙乙B

15 cc.complexity-theory  np-hardness  cg.comp-geom  linear-algebra  permutations 

考虑以下问题： 输入：一个超平面ħ = { ý ∈ [R Ñ：一个 Ť Ŷ = b }H={y∈Rn:aTy=b}H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}，由矢量给定一个 ∈ Ž Ña∈Zn\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n和b ∈ Žb∈Zb \in \mathbb{Z}在标准二进制表示。 X ∈ ž Ñ = ARG 分钟d （X，ħ ）x∈Zn=argmind(x,H)\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H) 在上面的符号，和被定义为，即，这是一组点与单个点之间的自然欧氏距离。d （X，小号）d(x,S)d(\mathbf{x}, S)X …

15 cc.complexity-theory  optimization  linear-algebra  integer-lattice 

通俗地讲，矩阵乘法指数的定义是存在已知的矩阵乘法算法的最小值。作为正式的数学定义，这是不可接受的，因此我想技术定义就像是整个t的最小值，因此n t中存在矩阵乘法算法。ñ ωωω\omegañωñωn^{\omega}ŤŤtñŤñŤn^t 在这种情况下，不能说有一个算法矩阵乘法ñωñωn^{\omega}甚至ñω + o （1 ）ñω+Ø（1个）n^{\omega + o(1)}，仅仅是对于所有在存在一个算法。但是，使用矩阵乘法的论文和结果通常会简单地将其成本报告为。Ñ ω + ε Ö （Ñ ω）ϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0ñω + ϵñω+ϵn^{\omega + \epsilon}Ø （ñω）Ø（ñω）O(n^{\omega}) 有其他替代定义可以使用吗？是否有保证时间的算法任何结果ñ ω或ñ ω + Ö （1 ）必须存在？或者是使用Ø （ñ ω）只是马虎？ωω\omegañωñωn^{\omega}ñω + o （1 ）ñω+Ø（1个）n^{\omega + o(1)}Ø （ñω）Ø（ñω）O(n^{\omega})

15 ds.algorithms  linear-algebra 

该沃尔什-哈达玛变换（WHT）是傅立叶变换的概括，并且是尺寸的实数或复数的矢量正交变换。该变换在量子计算中很流行，但是最近作为一种对高维向量的随机投影的预处理器进行了研究，以用于Johnson-Lindenstrauss引理的证明。它的主要特征是，尽管它是平方矩阵，但它可以通过类似FFT的方法应用于时间为（而不是）的向量。d= 2米d=2米d = 2^md× dd×dd\times dØ （d日志d）Ø（d日志⁡d）O(d \log d)d2d2d^2 假设输入向量是稀疏的：它只有几个非零条目（例如 ）。有任何方法来计算在时间上的WHT，使得和 为 ？[R « d[R≪dr \ll dF（- [R ，d）F（[R，d）f(r,d)F（d，d）= O （d日志d）F（d，d）=Ø（d日志⁡d）f(d,d) = O(d \log d)F（- [R ，d）= o （d日志d）F（[R，d）=Ø（d日志⁡d）f(r,d) = o(d \log d)r = o （d）[R=Ø（d）r = o(d) 注意：这些要求只是形式化想法的一种方法，即我希望小运行速度比快。d日志dd日志⁡dd \log d[R[Rr

15 ds.algorithms  linear-algebra 

给定一个矩阵（假设米≥ Ñ），什么是最快的算法来计算其列秩和依据？m×nm×nm \times nm≥nm≥nm \ge n 我知道它可以通过线性拟阵相交，这意味着一个来解决时间确定性算法和ø （米Ñ ω - 1）时间随机化算法。是否有一个ø （米Ñ ω - 1）时间确定性算法更直接减少的问题（或高斯消元），以矩阵乘法？O(mn1.62)O(mn1.62)O(mn^{1.62})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})O(mnω−1)O(mnω−1个）O(mn^{\omega-1})

15 ds.algorithms  reference-request  time-complexity  linear-algebra  matrices 

是否有任何工作要找到为较小且固定的计算 x矩阵的行列式所需的基本算术运算的最小数目？例如，。n n n = 5nnnnnnnnnn=5n=5n=5

14 cc.complexity-theory  linear-algebra  determinant 

考虑的变量的矢量，和一组线性通过指定的约束甲→ X ≤ b。x⃗ x→\vec{x}Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b 此外，考虑两个多表位 P1P2={(f1(x⃗ ),⋯,fm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}={(g1(x⃗ ),⋯,gm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}P1={(f1(x→),⋯,fm(x→))∣Ax→≤b}P2={(g1(x→),⋯,gm(x→))∣Ax→≤b}\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*} 其中和g是仿射映射。即，它们的形式为→ Ç＆CenterDot;＆→ X + d。（我们注意到，P 1和P 2是多面体，因为他们是多面体的“仿射映射” 一→ X ≤ b）。fffgggc⃗ ⋅x⃗ +dc→⋅x→+d\vec{c}\cdot \vec{x} +dP1P1P_1P2P2P_2Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b 问题是，如何确定和P 2是否等于集合？有什么复杂性？P1P1P_1P2P2P_2 该问题的动机来自传感器网络，但这似乎是一个可爱的（可能是基本的）几何问题。可以通过枚举和P 2的所有顶点来解决这个问题，但是有没有更好的方法？P1P1P_1P2P2P_2

14 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  polytope 

我正在寻找有关矩形矩阵的矩阵乘法的计算复杂性的信息。维基百科指出乘法的复杂性由乙∈ [R Ñ × p是ø （米Ñ p ）（教科书倍增）。甲∈ řm × n一种∈[R米×ñA \in \mathbb{R}^{m \times n}乙∈ řÑ × p乙∈[Rñ×pB \in \mathbb{R}^{n \times p}ø （米Ñ p ）Ø（米ñp）O(mnp) 我有一种情况，其中和n远小于p，我希望在p中获得比线性更好的复杂度，但代价是使对m和n的依赖性比线性差。米米mññnpppppp米米mññn 有任何想法吗？ 谢谢。 注意：我希望之所以成为可能是因为众所周知的结果是，如果m = n = p（矩阵都是平方的话），则三次方依赖性较小。pppm = n = p米=ñ=pm=n=p

14 cc.complexity-theory  time-complexity  linear-algebra  matrix-product