Questions tagged «pde»

令为的凸多边形有界Lipschitz域，令。- [R 2 ˚F ∈ 大号2（Ω ）ΩΩ\Omega[R2R2\mathbb R^2F∈ 大号2（Ω ）f∈L2(Ω)f \in L^2(\Omega) 然后的狄利克雷问题的解决方案在，上具有独特的解决方案并且被适定的，即对于某一常数我们有。Δ û = ˚FΔu=f\Delta u = fΩΩ\Omega跟踪u = 0trace⁡u=0\operatorname{trace} u = 0∂Ω∂Ω\partial\OmegaH2H2H^2CCC∥ ü ∥H2≤ ç∥ ˚F∥大号2‖u‖H2≤C‖f‖L2\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2} 对于某些有限元逼近üHuhu_h，例如在均匀网格上具有节点元素的情况下，我们得到误差估计 ∥ ü - üH∥H1个≤ ç^ h ∥ ü ∥H2‖u−uh‖H1≤Ch‖u‖H2\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u …

10 pde  finite-element  error-estimation 

我知道我们可以使用数学分析技术来证明IVP或BVP是否具有解决方案，是否唯一并且是否连续取决于边界/初始值。对于某些PDE，尤其是非线性PDE，很难（即使不是不可能）证明适定性。是否有任何数字技术可以验证问题是否存在良好？

10 pde  well-posedness 

我用数字方法解决了许多PDE，但是应用数学不是我的专长。为了跟上该领域的最新发展，我还没有读过哪些应用数学期刊。 哪些最新期刊值得阅读，以跟上数字求解PDE的最新发展？

10 pde  publications 

现在，我有一个使用Crank-Nicholson算法的代码，但是我认为我想转向更高阶的算法以进行时间步长。我知道Crank-Nicholson算法在我想工作的领域中是稳定的，但我担心某些其他算法可能不是。 我知道如何计算算法的稳定区域，但这可能有点麻烦。有人知道抛物线偏微分方程的大量时间步长算法的稳定性吗？

10 pde  stability  parabolic-pde 

似乎人们通常使用单活性电子（SAE）近似来处理多电子系统，从而将问题转换为单电子问题。例如，在数值上解决氦原子与激光场相互作用的问题时，人们通常近似地包括由伪电势产生的电子-电子效应，并且本质上解决了一个电子问题。那么，为什么即使在数值上求解时间相关的多电子薛定ding方程也很困难？比经典的n体问题难得多吗？我已经看到，即使在实时上，也有很多巨大的经典体问题在天文学上得到了数值解决，例如，这里实时模拟两个涉及280000个粒子相互作用的星系的碰撞。ññn

10 pde  quantum-mechanics 

我知道分段线性有限元逼近 uhuhu_h 的 Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U 满足 ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} 假设足够光滑并且。UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) 问题：如果，我们是否有以下类似的估计，其中两侧都取了一个导数： f∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)∥u−uh∥L2(U)≤Ch∥f∥H−1(U)?‖u−uh‖L2(U)≤Ch‖f‖H−1个(ü）？ \|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad? 你能提供参考吗？ 思想：由于我们仍有，因此应该有可能在获得收敛。直观地讲，这甚至可以使用分段常数函数。ü ∈H1个0（U）ü∈H01个（ü）u\in H^1_0(U)大号2（U）大号2（ü）L^2(U)

9 finite-element  pde  reference-request  convergence  elliptic-pde 

我有一个客观的功能 EEE 取决于一个值 ϕ(x,t=1.0)ϕ(x,t=1.0)\phi(x, t = 1.0)，在哪里 ϕ(x,t)ϕ(x,t)\phi(x, t)是PDE的解决方案。我正在优化EEE在PDE 的初始条件下通过梯度下降：ϕ(x,t=0.0)ϕ(x,t=0.0)\phi(x, t = 0.0)。也就是说，我更新ϕ(x,t=0.0)ϕ(x,t=0.0)\phi(x, t = 0.0)然后必须集成PDE以计算我的残差。这就是说，如果我要对梯度下降步长进行线搜索（称它为αα\alpha），对于的每个潜在值 αα\alpha 我将不得不重新整合PDE。 就我而言，这将是非常昂贵的。自适应梯度下降步长还有另一种选择吗？ 我不仅在这里寻找数学原理的方案（尽管如果有的话当然会更好），但对通常比静态步长更好的任何事物都会感到满意。 谢谢！

9 optimization  pde  conjugate-gradient 

我正在阅读一篇论文[1]，他们在其中解决了以下非线性方程 ut+ux+uux−uxxt=0ut+ux+uux−uxxt=0\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation} 使用有限差分法。他们还使用冯·诺依曼的稳定性分析来分析方案的稳定性。但是，正如作者意识到的那样，这仅适用于线性PDE。因此，作者通过“冻结”非线性项来解决此问题，即他们替换了非线性项。uuxuuxuu_x 与 UuxUuxUu_x，在哪里 UUU “被认为代表了 uuu”。 所以我的问题有两个： 1：如何解释此方法，为什么不起作用？ 2：我们也可以更换 uuxuuxuu_x 与 uUxuUxuU_x 学期 UxUxU_x “被认为代表了 uxuxu_x“？ 参考文献 Eilbeck，JC和GR McGuire。“正则化长波方程的数值研究I：数值方法。” Journal of Computational Physics 19.1（1975）：43-57。

9 pde  finite-difference  numerical-analysis  nonlinear-equations  stability 

在FEM文献中，半变量方法通常用于时变PDE的解决方案中。我还没有看到一种完全可变的方法，即FEM将空间和时间离散化，也许允许使用非结构化的时空网格。尽管时间步进方法可能更易于实现，但是否存在时空网格划分不可行的特定原因？我想人们必须定制网格来尊重给定问题的物理特性，但是我不确定。

9 pde  finite-element  discretization  time-integration 

我发现线法是考虑PDE离散化的一种非常自然的方法。因此，当我提出一组新的方程式时，我总是默认这种思维方式。我从未见过PDE无法解决的问题。 我想知道的是，是否存在不能通过线法表达的离散化方法（或PDE类型）。我希望时间导数在方程式中隐含且无法求解的任何PDE都会是这种情况（尽管我不知道这方面的实际示例）。我正在寻找关于为什么行方法总是适用的理由或反例。

9 pde  method-of-lines 

我对有关数值PDE和ODE的书籍参考的建议很感兴趣，尤其是针对专业数学家编写的这种方法的严格分析。从列出数百种或数千种不同方法的意义上讲，它不必非常全面，但我会对至少涵盖指导现代技术的大多数关键概念的内容感兴趣。 我认为应该对数字线性代数的教科书进行类比，这对我来说比较熟悉。我在寻找与数值微分方程中的稳定性和截断误差有关的东西，因为Higham的数值算法的准确性和稳定性与数值线性代数中的稳定性和舍入误差有关，并且与Golub讨论ODE和PDE中的现代技术有关Van Van和Van Loan的《矩阵计算》讨论了线性代数技术的大多数主要类型。 实际上，我对数值ODE和PDE知之甚少。我一直在阅读各种在线笔记，并且有Randall LeVeque撰写的《用于常微分方程和有限差分方法的有限差分方法》一书，虽然很清楚，但不够深入。作为我要寻找的水平的一个更具体的示例，我希望椭圆和抛物线方程的任何部分都假定读者完全了解Sobolev空间及其嵌入的理论以及PDE的弱解，并使用结果从该理论中自由地得出有限元等的误差估计。

9 pde  reference-request  ode 

我正在使用Matlab pde工具箱来求解2D中的某些椭圆方程。 解决方案很好，尽管我确实需要沿着给定的线对其进行绘制，即从表示解决方案的3D网格中切出一个平面切片。 我想不出一种巧妙地涉及工具箱功能的方法（即不涉及三角形网格上的低级插值）。 任何帮助表示赞赏。

9 pde  matlab 

我将深入研究迷人的有限元分析世界，并想解决一个大的热机械问题（仅热机械，无反馈）。→→\rightarrow 对于机械问题，我已经从Geoff的答案中了解到，由于网格的大小，我将需要使用迭代求解器。我在Matt的回复中进一步读到，选择正确的迭代算法是一项艰巨的任务。 我要问的是，在大型3维线性弹性问题上是否有任何经验可以帮助我缩小对最佳性能的搜索范围？在我的情况下，它是一种结构，具有薄的图案化薄膜和不规则放置的材料（高CTE和低CTE）。在热力学分析中没有大的变形。我可以使用大学的HPC [1.314节点，带有2个AMD Opteron处理器（每个2.2 GHz / 8核）]。 我认为其中PETSc可能包含一些有趣的东西，尤其是进行某种域分解（FETI，多重网格）的算法，但我对这些选择有些不知所措，没有经验。我也喜欢“几何通知的前置条件”一词，但是不确定这是否对我有帮助。我还没有找到关注线性连续体力学的东西。 在我的应用程序中，强大的缩放比例（Amdahl）非常重要，因为我的工业合作伙伴迫不及待要等待很长时间才能获得仿真结果。我绝对不仅赞赏答案，而且还提出建议，以便在评论中进一步阅读。

9 pde  parallel-computing  petsc  hpc  iterative-method 

假设我遇到以下周期性一维平流问题： ∂ü∂Ť+ c∂ü∂X= 0∂ü∂Ť+C∂ü∂X=0\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0 在 Ω = [ 0 ，1 ]Ω=[0，1个]\Omega=[0,1] u （0 ，t ）= u （1 ，t ）ü（0，Ť）=ü（1个，Ť）u(0,t)=u(1,t) u （x ，0 ）= g（x ）ü（X，0）=G（X）u(x,0)=g(x) 哪里 G（x ）G（X）g(x) 在处有跳跃间断 X∗∈ （0 ，1 ）X∗∈（0，1个）x^*\in (0,1)。 我的理解是，对于高于一阶的线性有限差分方案，随着时间的推移，不连续附近会出现虚假振荡，随着时间的流逝，会导致解因其预期的波形而失真。根据维基百科的解释，似乎这些振荡通常发生在用有限傅立叶级数近似不连续函数时。 由于某些原因，我似乎无法理解如何在此PDE的解决方案中观察到有限傅立叶级数。特别是，我如何分析地估计“超调”的界限？

9 pde  finite-difference  advection 

我听说，当边界条件都是一种类型时，可以使用快速傅立叶变换来解决泊松问题。考虑一个二维矩形域，假设两个相对的边具有周期性边界条件，而另两个具有狄里克雷条件。是否可以应用快速傅立叶变换来有效解决此问题？如果是这样，指数形式是否足够？如果没有，您会为这种情况推荐哪种求解器？

9 pde  fourier-analysis  boundary-conditions  poisson