Questions tagged «pde»

PDE的强形式要求未知解属于。但是弱形式仅要求未知解属于H 1。H2H2H^2H1个H1H^1 您如何调和这一点？

13 pde  weak-solution 

假设我有一个边值问题： d2udx2+dvdx=f in Ωd2udx2+dvdx=f in Ω\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega dudx+d2vdx2=g in Ωdudx+d2vdx2=g in Ω\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega u=h in ∂Ωu=h in ∂Ωu=h \text{ in } \partial\Omega 我的目标是将这个耦合问题的解决方案分解为一系列非耦合PDE。为了使系统解耦，我对一系列近似值应用定点迭代，(uk,vk)(uk,vk)(u^k,v^k)以便 d2ukdx2+dvk−1dx=fd2ukdx2+dvk−1dx=f\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f duk−1dx+d2vkdx2=gduk−1dx+d2vkdx2=g\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g 从理论上讲，这将使我能够将两个方程作为纯椭圆PDE求解。但是，我从未见过以这种方式将定点迭代应用于PDE。我已经看到定点迭代应用于数字离散方程（有限差分法，有限元方法等），但从未直接应用于连续方程。 我这样做违反了任何公然的数学原理吗？这在数学上有效吗？我可以通过使用应用于连续变量问题而不是离散变量问题的定点迭代来将耦合PDE求解为非耦合PDE的序列吗？ 在这一点上，我并不真正在乎使用这种方法是否可行，而是在理论上是否可行。任何反馈将不胜感激！

12 pde  iterative-method 

我正在尝试为教学目的模拟基本的半导体模型-从漂移扩散模型开始。尽管我不想使用现成的半导体仿真器-我将学习其他（常见，最近或模糊的）模型，但我确实想使用现成的PDE求解器。 但是，即使对于简单的一维情况，漂移扩散模型也由许多耦合的非线性PDE组成： 电流密度方程 Ĵ p = q p （X ）μ p È （X ）+ q d p ∇ pĴñ= qn （x ）μñË（x ）+ qdñ∇ ñJn=qn(x)μnE(x)+qDn∇nJ_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n Ĵp= qp （x ）μpË（x ）+ qdp∇ pJp=qp(x)μpE(x)+qDp∇pJ_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p …

12 pde 

为了对均匀采样的数据（例如结合PDE求解器）使用快速傅里叶变换（FFT），众所周知，FFT是）算法。当并行处理n → ∞（即非常大）时，FFT缩放比例如何？Ø（ñ日志（n ）O(nlog⁡(n)\mathcal{O}(n\log(n)n → ∞n→∞n\to\infty

12 pde  fftw  fourier-analysis 

高雷诺数流产生非常薄的边界层。如果在“大涡流模拟”中使用了壁分辨率，则宽高比可能约为10610610^6。在这种情况下，许多方法变得不稳定，因为insup常数会随着长宽比的平方根或更差而降低。insup常数很重要，因为它会影响线性系统的条件数和离散解的逼近性质。尤其是，以下关于离散误差保持的先验界限（Brezzi和Fortin 1991） μ∥u−uh∥H1≤C[μβinfv∈V∥u−v∥H1+infq∈Q∥p−q∥L2]∥p−ph∥L2≤Cβ[μβinfv∈V∥u−v∥H1+infq∈Q∥p−q∥L2]μ‖u−uh‖H1≤C[μβinfv∈V‖u−v‖H1+infq∈Q‖p−q‖L2]‖p−ph‖L2≤Cβ[μβinfv∈V‖u−v‖H1+infq∈Q‖p−q‖L2]\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - …

12 pde  finite-element  fluid-dynamics  stability  incompressible 

我想解决流形上的一些PDE，例如说球体上的椭圆方程。 我从哪说起呢？我想找到一些在2d中使用预先存在的代码/库的东西，暂时没有那么花哨的东西 稍后添加：欢迎文章和报告。

11 pde  finite-element  reference-request 

我正在尝试了解基于伴随的优化方法如何用于PDE约束优化。特别是，我试图理解为什么伴随方法对于设计变量数量大而“方程式数量小”的问题更有效。 我的理解： 请考虑以下PDE约束优化问题： minβ I(β,u(β))s.t.R(u(β))=0minβ I(β,u(β))s.t.R(u(β))=0\min_\beta \text{ } I(\beta,u(\beta))\\ s.t. R(u(\beta))=0 其中是向量设计变量β和取决于设计变量的场变量未知数u （β ）的向量的（足够连续的）目标函数，而R （u ）是PDE的残差形式。IIIββ\betau(β)u(β)u(\beta)R(u)R(u)R(u) 显然，我们可以将I和R的第一个变体设为 δ一世= ∂一世∂βδβ+ ∂一世∂üδüδ一世=∂一世∂βδβ+∂一世∂üδü\delta I = \frac{\partial I}{\partial \beta}\delta\beta + \frac{\partial I}{\partial u}\delta u δR = ∂[R∂βδβ+ ∂[R∂üδu = 0δ[R=∂[R∂βδβ+∂[R∂üδü=0\delta R = \frac{\partial R}{\partial \beta}\delta\beta + \frac{\partial R}{\partial u}\delta u = 0 引入拉格朗日乘数的向量，目标函数的变化可以写成λλ\lambda δ一世= …

11 optimization  pde 

ΩΩ\Omegau （x ）ü（X）u(x)- d 我v（甲∇ û ）+ Ç ùñ= f-d一世v（一种∇ü）+Cüñ=F -\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f 我的问题是：（1）假设Dirichlet边界条件为零，是否存在Sobolev理论来确定该方程的相应变式的适定性？如果是这样，我们应该考虑什么Banach空间？（2）这类方程式有哪些可能的数值方法？

11 pde  finite-element 

谁能帮助我找到有关泊松数值解（有限差分法和Crank-Nicolson方法）的书，以及包括不规则几何体（例如，由矩形和圆形之间的区域组成的区域）的扩散方程（尤其是书本或链接）在这种情况下的MATLAB代码示例）？

11 pde  finite-difference 

我正在实施“ 注册和翘曲的最佳大众运输 ”一文，我的目标是将其联机，因为我只是在网上找不到任何欧拉大众运输代码，这至少对于图像处理领域的研究界很有意义。 论文可以总结如下： - 使用沿x和y坐标的一维直方图匹配找到初始图 求解，其中u ^ \ perp代表逆时针旋转90度，\ triangle ^ {-1}表示具有Dirichlet边界条件（= 0）的泊松方程的解，和都是雅可比矩阵的行列式。 -保证了时间步长dt &lt;\ min | \ frac {1} {\ mu_0} \ nabla ^ \ perp \ triangle ^ {-1} div（u ^ \ perp）|的稳定性。uuuut=1μ0Du∇⊥△−1div(u⊥)ut=1μ0Du∇⊥△−1div(u⊥)u_t = \frac{1}{\mu_0} Du \nabla^\perp\triangle^{-1}div(u^\perp)u⊥u⊥u^\perp△−1△−1\triangle^{-1}DuDuDudt&lt;min|1μ0∇⊥△−1div(u⊥)|dt&lt;min|1μ0∇⊥△−1div(u⊥)|dt<\min|\frac{1}{\mu_0}\nabla^\perp\triangle^{-1}div(u^\perp)| 对于数值模拟（在常规网格上执行），他们表示使用matlab的poicalc求解泊松方程，他们使用空间有限导数的中心有限差分，但使用逆风方案计算的Du除外DuDuDu。 使用我的代码，映射的能量函数和卷曲适当减小了几次迭代（取决于时间步长，从几十到几千）。但是在那之后，模拟爆炸：能量增加，只需很少的迭代即可达到NAN。我尝试了几个阶数的微分和积分（可以在这里找到cumptrapz的高阶替换项）以及不同的插值方案，但是我总是遇到相同的问题（即使在非常平滑的图像上，各处也不为零等）。 有人会对我所面对的代码和/或理论问题感兴趣吗？代码很短。 具有调试功能的代码 登记功能 测试代码，前提是您要注册两张相同大小的图像 只是必要的功能，没有测试内容（&lt;100行） 请在最后用gradient（）替换gradient2（）。这是一个高阶梯度，但也不能解决问题。 我现在只对本文的最佳运输部分感兴趣，而不对附加的正则化术语感兴趣。 谢谢 …

11 pde  finite-difference  matlab  fluid-dynamics  image-processing 

我想学习Raviart-Thomas（RT）元素的工作原理。为此，我想分析地描述基函数在参考正方形上的外观。这里的目标不是自己实现，而只是为了对该元素有一个直观的了解。 我主要是立足这项工作过讨论的三角形元素在这里，也许它延伸到四边形，本身就是一个错误。 也就是说，我可以为第一个RK元素RK0定义基本函数： i=1，...，4。ϕi(x)=a+bx=(a1+b1xa2+b2y)ϕi(x)=a+bx=(a1+b1xa2+b2y)\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix} fori=1,…,4.i=1,…,4.i = 1,\dots,4. 在条件是：ϕiϕi\mathbf{\phi}_i ϕi(xj)⋅nj=δijϕi(xj)⋅nj=δij\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij} 其中是如下所示的单位法线，是其坐标。X Ĵnjnj\mathbf{n}_jxjxj\mathbf{x}_j 这是参考平方，因此这导致每个基函数的方程组。对于这是：φ 1[−1,1]×[1,1][−1,1]×[1,1][-1,1]\times[1,1]ϕ1ϕ1\mathbf{\phi}_1 ⎛⎝⎜⎜⎜10−100−10110100101⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜a1a2b1b3⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜1000⎞⎠⎟⎟⎟(10100−101−10100101)(a1a2b1b3)=(1000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ …

10 pde  finite-element 

我是FE的初学者。我的应用是空间为五维的金融衍生产品的定价。因此，增加时间，问题有六个方面。 我试图环顾四周（Fenics，escript，deal.II等），但我的理解是，这些软件限于3 + 1（3d空间+ 1d时间）。它是否正确？ 我的目标语言是Python或C ++。 问题描述 我想对一种投资产品进行定价，每个月投资者都可以自由进行或不进行再投资。我想做到的是随机波动，随机利率和随机死亡率。 随机偏微分方程这个样子 其中μ š 吨是相关的股票价格的时间依赖性常数小号，和乙小号吨是一个独立的Levy过程，其在股价噪声产生小号。类似地，对于其他量：ν σ 吨是关联到波动的时间依赖量σ。 让Çτ表示在时间允许的投资τd小号ŤdσŤd[RŤdqŤ= μ小号ŤdŤ+ σŤ--√d乙小号Ť= μσŤdt + νσŤd乙σŤ= μ[RŤdt + ν[RŤd乙[RŤ= μqŤdt + νqŤd乙qŤ（股票）（挥发性）（利率）（死亡）dSt=μtSdt+σtdBtS(stock)dσt=μtσdt+νtσdBtσ(volatility)drt=μtrdt+νtrdBtr(interest rate)dqt=μtqdt+νtqdBtq(mortality)\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt …

10 pde  finite-element 

我正在尝试使用Discontinuous Galerkin方法（DG）和以下离散化方法求解二维Poisson方程（抱歉，我有一个png文件，但不允许上传）： 方程： ∇⋅(κ∇T)+f=0∇⋅(κ∇T)+f=0\nabla \cdot( \kappa \nabla T) + f = 0 新的方程： q=κ∇T∇⋅q=−fq=κ∇T∇⋅q=−fq = \kappa \nabla T\\\nabla \cdot q = -f 弱形式与数值通量Ť和q：T^T^\hat{T}q^q^\hat{q} ∫q⋅wdV=−∫T∇⋅(κw)dV+∫κT^n⋅wdS∫q⋅∇vdV=∫vfdV+∫q^⋅nvdS∫q⋅wdV=−∫T∇⋅(κw)dV+∫κT^n⋅wdS∫q⋅∇vdV=∫vfdV+∫q^⋅nvdS\int q \cdot w dV = - \int T \nabla \cdot (\kappa w) dV + \int \kappa \hat{T} n \cdot w dS\\ \int q \cdot \nabla v …

10 pde  finite-element  fenics 

我正在使用Crank-Nicolson有限差分方案来求解一维热方程。我想知道热方程的最大/最小原理（即最大/最小发生在初始条件还是边界上）是否也适用于离散解。 Crank-Nicolson是一个稳定且收敛的方案，这可能暗示了这一点。但是，您似乎可以使用Crank-Nicolson模具创建的矩阵通过线性代数参数直接证明这一点。 我将不胜感激任何与此有关的文献资料。谢谢。

10 linear-algebra  pde  finite-difference  crank-nicolson 

我正在使用以下C ++代码解决Turing的反应扩散系统。它太慢了：对于128x128像素纹理，可接受的迭代次数为200 –导致2.5秒的延迟。我需要进行400次迭代才能获得有趣的图像-但是等待5秒钟太多了。同样，纹理的大小实际上应为512x512-但这会导致大量的等待时间。设备是iPad，iPod。 有没有机会更快地做到这一点？欧拉方法收敛缓慢（维基百科）–使用更快的方法可以减少迭代次数吗？ 编辑：正如托马斯·克里姆佩尔（Thomas Klimpel）所指出的，这些行：“ if（m_An [i] [j] &lt;0.0）{...}”，“ if（m_Bn [i] [j] &lt;0.0）{...}”延迟收敛：移除后，经过75次迭代后会出现有意义的图像。我在下面的代码中注释掉了这些行。 void TuringSystem::solve( int iterations, double CA, double CB ) { m_iterations = iterations; m_CA = CA; m_CB = CB; solveProcess(); } void set_torus( int &amp; x_plus1, int &amp; x_minus1, int x, int size ) { // …

10 pde  stiffness